Considera un triángulo $\triangle{ABC}$ y una circunferencia, $m$, tangente al lado $AC$ en $Q$, al lado $AB$ en $D$ y a la circunferencia circunscrita al $\triangle{ABC}$, $n$, en $R$. Denotemos con $P$ el punto donde la bisectriz del ángulo $\angle{ABC}$ corta a $n$.
Demostrar que $P$, $Q$, $R$ están alineados.
Demostración.
Considere una inversión con centro en $A$ y radio $AQ$. $Q$ está fijo. La circunferencia de inversión y $m$ son ortogonales, por lo que $m$ está fija. La inversión de $n$ es la recta que pasa por los vértices invertidos $B'$ y $C'$. La imagen invertida de $R$ es el punto de tangencia de la línea $B'C'$ y $m$, que denotamos con $R'$. El inverso de $P$ es la intersección de las líneas $AP$ y $B'C'$. Note que $m$ es el $A$-excírculo del $\triangle{AB'C'}$. El ángulo $\angle{ABP}=\angle{AP'B'}$ y $\angle{ABC}=2\angle{ABP}=2\angle{AP'B'}=\angle{AC'B'}$. Fíjese que el triángulo $\triangle{C'R'Q}$ es isósceles, por lo que $\angle{C'QR'}=\frac{180^\circ-(180^\circ-2\angle{AP'B'})}{2}=\angle{AP'B'}$. De donde se concluye que $AP'QR'$ es cíclico, y que por lo tanto, $P$, $Q$ y $R$ están alineados.
Considera un triángulo $\triangle{ABC}$. Denotemos el incentro, el Centro de Circunferencia de los Nueve Puntos y el punto de Feuerbach con $I$, $N$, $F_e$, respectivamente. $M_aM_bM_c$ es el triángulo medial de $\triangle{ABC}$. $M_1M_2M_3$ es el triángulo de medio arco del triángulo medial de $\triangle{ABC}$. $T_aT_bT_c$ es el triángulo formado por los puntos de tangencia del incírculo de $\triangle{ABC}$ con $\triangle{ABC}$ (ver figura debajo).
Demostrar que $M_1T_c$, $M_2T_a$, $M_3T_b$ concurren en el conjugado armónico del punto de Feuerbach con respecto a $I$ y a $N$. Por cierto, éste es el punto $X(12)$ en la ETC.
Demostración.
Para la demostración será suficiente con probar que el punto donde $M_1T_c$ corta $F_eN$ es precisamente el conjugado armónico del punto de Feuerbach, y que por un razonamiento similar lo hacen también las líneas $M_2T_a$ y $M_3T_b$.
Lema 1. ${IT_c} \parallel {NM_1}$.
Demostración. Note que como $M_1$ es el punto medio del arco $M_aM_b$, $NM_1$ es mediatriz del segmento $M_aM_b$ y, por lo tanto, perpendicular al mismo. Note también que el lado $AB$ es paralelo con $M_aM_b$. El lado $AB$ es perpendicular con $IT_c$, de donde se sigue que ${IT_c} \parallel {NM_1}$.
Lema 2. Denotemos $T'_c$ la reflexión de $T_c$ respecto a $I$, entonces, $F_e$, $T'_c$ y $M_1$ están alineados.
Si hacemos a $P$ el punto donde $M_1T_c$ corta a $F_eN$, es fácil notar (por propiedad de ángulos alternos internos) que $\triangle{IPT_c}\sim\triangle{M_1NP}$.
De ésto se sigue que
$$\frac{IT_c}{IP} = \frac{M_1N}{NP}$$
pero $IT_c = F_eI$; $M_1N = F_eN$.
Así tenemos
$$\frac{F_eI}{IP} = \frac{F_eN}{NP}$$
Lo que por definición demuestra que $P$ es el conjugado armónico de $F_e$ con respecto a $I$, $N$. Por un razonamiento análogo, las líneas $M_2T_a$ y $M_3T_b$ cortan $F_eN$ en el conjugado armónico de $F_e$.
Simplicio: ¿Realmente estás intentando decir que las matemáticas no ofrecen ninguna aplicación útil o práctica a la sociedad?
Salviati: Por supuesto que no. Simplemente estoy diciendo que sólo porque algo tenga consecuencias prácticas, no significa que trate de eso. La música puede llevar a ejércitos a la batalla, pero eso no es la razón de por qué se escriben sinfonías. Miguel Ángel decoró un techo, pero estoy seguro de que tenía cosas más imponentes en mente.
Simplicio: ¿Pero no necesitamos a gente que aprenda esas consecuencias tan útiles de las matemáticas? ¿No necesitamos contables y carpinteros, etc?
Salviati: ¿Cuánta gente utiliza de verdad esta «matemática práctica» que supuestamente aprendió en el colegio? ¿Crees que los carpinteros usan la trigonometría? ¿Cuántos adultos se acuerdan de cómo dividir fracciones, o de resolver ecuaciones cuadráticas? Obviamente el programa de enseñanza práctica no está funcionando, y por una buena razón: es insoportablemente aburrido, y de todas maneras nadie lo usa nunca. Entonces, ¿por qué la gente piensa que es importante? No veo por qué hace bien a la sociedad tener a sus miembros por ahí con vagos recuerdos de fórmulas algebraicas y diagramas geométricos, y recuerdos claros de odiarlos. Podría, sin embargo, hacer algún bien, enseñarles algo bonito y darles la oportunidad de disfrutar de ser pensadores creativos, flexibles y de mente abierta —el tipo de cosas que una educación matemática real puede dar.
Simplicio: Pero la gente necesita poder establecer el saldo de sus talonarios de cheques, ¿no?
Salviati: Estoy seguro de que la mayor parte de la gente usa la calculadora para la aritmética cotidiana. Es verdaderamente más fácil y más fiable. Pero la clave no es sólo que el sistema actual sea tan terriblemente malo, ¡es que lo que falta es maravillosamente bueno! Las matemáticas deberían ser enseñadas como arte por el arte. Estos aspectos mundanos de «utilidad» seguirían naturalmente como un subproducto trivial. Beethoven podía escribir fácilmente una música de anuncio, pero su motivación para aprender música era crear algo hermoso.
Simplicio: Pero no todo el mundo está hecho para ser artista. ¿Qué pasa con los niños que no sean «gente matemática»? ¿Cómo encajarían en tu esquema?
Salviati: Si todo el mundo fuese expuesto a las matemáticas en su estado natural, con toda la diversión estimulante y sorpresas que conlleva, creo que veríamos un cambio dramático, tanto en la actitud de los alumnos hacia las matemáticas, como en nuestra concepción de qué significa que a alguien se le «den bien las matemáticas». Estamos perdiendo a muchos talentos matemáticos en potencia—gente creativa e inteligente que con razón rechazan lo que parece ser un tema sin sentido y estéril—. Simplemente son demasiado listos como para perder su tiempo con esas tonterías.
Simplicio: ¿Pero no opinas que si las clases de matemáticas se hiciesen más como las de arte, la gente no aprendería nada?
Salviati: ¡No están aprendiendo nada ahora! Mejor no tener clases de matemáticas en absoluto que hacer lo que se está haciendo ahora. Al menos algunos tendrán la oportunidad de descubrir algo bonito por sí mismos.
Simplicio: Entonces, ¿eliminarías las matemáticas del programa de estudios?
Salviati: ¡Las matemáticas ya se han eliminado! La única cuestión es qué hacer con la insulsa cáscara vacía que queda. Por supuesto, preferiría reemplazarla por la participación alegre y activa en ideas matemáticas.
Simplicio: Pero, de todas formas, ¿cuántos profesores de matemáticas saben lo suficiente de su área como para enseñarla de esa forma?
Salviati: Muy pocos. Y eso es sólo la punta del iceberg. . .
Un interesante vídeo del autor del libro (en inglés):
*$ABC$ is the golden gnomon. *$N$ is the center of the Nine-point center. *$I_a$ is the center of the A-excircle. Prove that the semicircle $NI_a$ touch $AC$ in $G$, such that $$\frac{GM_b}{CG}=\phi$$
Pues, que cuando las dos circunferencias de referencia son tangentes externamente, el diámetro de la circunferencia inscrita correspondiente al "Squinting Eyes Theorem", y la cuerda correspondiente al "Eyeball Theorem" son congruentes.
En la figura de abajo tenemos dos circunferencias tangentes con centros en $A$ y $B$. $C$ es la otra intersección de la línea $AB$ con la circunferencia de centro $A$. Desde $C$ dibujamos dos líneas tangentes a la circunferencia en $B$. Hagamos $T_c$ al punto de tangencia de la línea por encima de $AB$. Hagamos $D$ el centro de la circunferencia inscrita en la región limitada por la circunferencia en $A$ y las dos líneas tangentes provenientes de $C$. $E$ es el punto donde la línea $CT_c$ toca a la circunferencia en $D$. Desde $A$ dibujamos dos líneas tangentes más a la circunferencia en $B$. Hagamos $P$ y $Q$ los dos puntos donde estas líneas cortan la circunferencia en $A$ y $T_a$ el punto de tangencia por encima de $AB$. Por último, llamemos $r_1$, $r_2$ y $r_3$ a los radios de las circunferencias con centros en $A$, $B$ y $D$, respectivamente.
Note que los triángulos $\triangle{BCT_c}$ y $\triangle{ABT_a}$ son triángulos rectángulos. Por semejanza de triángulos se sigue
$$\frac{BT_c}{BC}=\frac{DE}{CD}$$
O lo que es lo mismo
$$\frac{r_2}{2r_1+r_2}=\frac{r_3}{2r_1-r_3}$$
Despejando $r_3$,
$$r_3=\frac{r_1r_2}{r_1+r_2}$$
Como $\triangle{APQ}$ es isosceles, $AB$ bisecta la cuerda $PQ$ en $M$. Consideremos ahora al $\triangle{AMQ}$. Otra vez, por semejanza de triángulos:
$$\frac{MQ}{AQ}=\frac{BT_a}{AB}$$
O lo que es lo mismo,
$$\frac{MQ}{r_1}=\frac{r_2}{r_1+r_2}$$
Despejando $MQ$,
$$MQ=\frac{r_1r_2}{r_1+r_2}$$
Por lo tanto, el diámetro de la circunferencia con centro en $D$ es congruente con la cuerda $PQ$.
