Colinealidad Asociada al Incírculo Mixtilíneo de un Triángulo

Considera un triángulo $\triangle{ABC}$ y una circunferencia, $m$, tangente al lado $AC$ en $Q$, al lado $AB$ en $D$ y a la circunferencia circunscrita al $\triangle{ABC}$, $n$, en $R$. Denotemos con $P$ el punto donde la bisectriz del ángulo $\angle{ABC}$ corta a $n$. 

Demostrar que $P$, $Q$, $R$ están alineados. 

Demostración.

Considere una inversión con centro en $A$ y radio $AQ$. $Q$ está fijo. La circunferencia de inversión y $m$ son ortogonales, por lo que $m$ está fija. La inversión de $n$ es la recta que pasa por los vértices invertidos $B'$ y $C'$. La imagen invertida de $R$ es el punto de tangencia de la línea $B'C'$ y $m$, que denotamos con $R'$. El inverso de $P$ es la intersección de las líneas $AP$ y $B'C'$. Note que $m$ es el $A$-excírculo del $\triangle{AB'C'}$. El ángulo $\angle{ABP}=\angle{AP'B'}$ y $\angle{ABC}=2\angle{ABP}=2\angle{AP'B'}=\angle{AC'B'}$. Fíjese que el triángulo $\triangle{C'R'Q}$ es isósceles, por lo que $\angle{C'QR'}=\frac{180^\circ-(180^\circ-2\angle{AP'B'})}{2}=\angle{AP'B'}$. De donde se concluye que $AP'QR'$ es cíclico, y que por lo tanto, $P$, $Q$ y $R$ están alineados.