Considera un triángulo \triangle{ABC}. Denotemos el incentro, el Centro de Circunferencia de los Nueve Puntos y el punto de Feuerbach con I, N, F_e, respectivamente. M_aM_bM_c es el triángulo medial de \triangle{ABC}. M_1M_2M_3 es el triángulo de medio arco del triángulo medial de \triangle{ABC}. T_aT_bT_c es el triángulo formado por los puntos de tangencia del incírculo de \triangle{ABC} con \triangle{ABC} (ver figura debajo).
Demostrar que M_1T_c, M_2T_a, M_3T_b concurren en el conjugado armónico del punto de Feuerbach con respecto a I y a N. Por cierto, éste es el punto X(12) en la ETC.
Demostración.
Para la demostración será suficiente con probar que el punto donde M_1T_c corta F_eN es precisamente el conjugado armónico del punto de Feuerbach, y que por un razonamiento similar lo hacen también las líneas M_2T_a y M_3T_b.
Lema 1. {IT_c} \parallel {NM_1}.
Demostración. Note que como M_1 es el punto medio del arco M_aM_b, NM_1 es mediatriz del segmento M_aM_b y, por lo tanto, perpendicular al mismo. Note también que el lado AB es paralelo con M_aM_b. El lado AB es perpendicular con IT_c, de donde se sigue que {IT_c} \parallel {NM_1}.
Lema 2. Denotemos T'_c la reflexión de T_c respecto a I, entonces, F_e, T'_c y M_1 están alineados.
Demostración. Ésto es una consecuencia directa del muy conocido lema 1 en el Libro de Lemas de Arquímedes.
Si hacemos a P el punto donde M_1T_c corta a F_eN, es fácil notar (por propiedad de ángulos alternos internos) que \triangle{IPT_c}\sim\triangle{M_1NP}.
De ésto se sigue que
\frac{IT_c}{IP} = \frac{M_1N}{NP}
pero IT_c = F_eI; M_1N = F_eN.
Así tenemos
\frac{F_eI}{IP} = \frac{F_eN}{NP}
Lo que por definición demuestra que P es el conjugado armónico de F_e con respecto a I, N. Por un razonamiento análogo, las líneas M_2T_a y M_3T_b cortan F_eN en el conjugado armónico de F_e.
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