Considera un triángulo $\triangle{ABC}$. Denotemos el incentro, el Centro de Circunferencia de los Nueve Puntos y el punto de Feuerbach con $I$, $N$, $F_e$, respectivamente. $M_aM_bM_c$ es el triángulo medial de $\triangle{ABC}$. $M_1M_2M_3$ es el triángulo de medio arco del triángulo medial de $\triangle{ABC}$. $T_aT_bT_c$ es el triángulo formado por los puntos de tangencia del incírculo de $\triangle{ABC}$ con $\triangle{ABC}$ (ver figura debajo).
Demostrar que $M_1T_c$, $M_2T_a$, $M_3T_b$ concurren en el conjugado armónico del punto de Feuerbach con respecto a $I$ y a $N$. Por cierto, éste es el punto $X(12)$ en la ETC.
Demostración.
Para la demostración será suficiente con probar que el punto donde $M_1T_c$ corta $F_eN$ es precisamente el conjugado armónico del punto de Feuerbach, y que por un razonamiento similar lo hacen también las líneas $M_2T_a$ y $M_3T_b$.
Lema 1. ${IT_c} \parallel {NM_1}$.
Demostración. Note que como $M_1$ es el punto medio del arco $M_aM_b$, $NM_1$ es mediatriz del segmento $M_aM_b$ y, por lo tanto, perpendicular al mismo. Note también que el lado $AB$ es paralelo con $M_aM_b$. El lado $AB$ es perpendicular con $IT_c$, de donde se sigue que ${IT_c} \parallel {NM_1}$.
Lema 2. Denotemos $T'_c$ la reflexión de $T_c$ respecto a $I$, entonces, $F_e$, $T'_c$ y $M_1$ están alineados.
Demostración. Ésto es una consecuencia directa del muy conocido lema 1 en el Libro de Lemas de Arquímedes.
Si hacemos a $P$ el punto donde $M_1T_c$ corta a $F_eN$, es fácil notar (por propiedad de ángulos alternos internos) que $\triangle{IPT_c}\sim\triangle{M_1NP}$.
De ésto se sigue que
$$\frac{IT_c}{IP} = \frac{M_1N}{NP}$$
pero $IT_c = F_eI$; $M_1N = F_eN$.
Así tenemos
$$\frac{F_eI}{IP} = \frac{F_eN}{NP}$$
Lo que por definición demuestra que $P$ es el conjugado armónico de $F_e$ con respecto a $I$, $N$. Por un razonamiento análogo, las líneas $M_2T_a$ y $M_3T_b$ cortan $F_eN$ en el conjugado armónico de $F_e$.
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