viernes, 29 de abril de 2022

Falacia lógica en Bosch - Composición Social Dominicana


Una falacia de división es una falacia informal que ocurre cuando uno razona que algo que es cierto para un todo también debe ser cierto para todas o algunas de sus partes. 

La falacia de división fue abordada por Aristóteles en sus Refutaciones sofísticas.

Ejemplos:

1. El sabor del guacamole es sabroso, por lo que los componentes con que se elabora (aguacate, sal, limón, chiles) también lo son.

2. El auto es azul; por lo tanto, sus neumáticos también lo son.

¿Ves el fallo? Ahora veamos el argumento de Bosch reescrito para que lo notes más fácilmente (ten en cuenta que Bosch hablaba de la época en que Santo Domingo era colonia española):

Premisa 1: España no asimilaba la oligarquía esclavista.

Premisa 2: Santo Domingo era parte de España.

Conclusión: Santo Domingo no asimilaba la oligarquía esclavista. 

¡Claramente una falacia de división y apenas estamos en el preámbulo del libro! Cabe señalar que la conclusión podría ser verdadera, pero mi objeción va dirigida a la manera en que Bosch la infiere, una falacia registrada desde los tiempos de Aristóteles. La conclusión ha sido mal defendida y eso le resta rigor a la obra, precisamente de lo que se cuidan los pensadores de verdad.

Esta falacia está en el preámbulo de la obra Bosch-Composición Social Dominicana, página 10, párrafo 1. ¿Crees que sea la única?  

miércoles, 27 de abril de 2022

The compound angle formulas from the half angle formulas

My goal is not necessarily to give the simplest derivation. I've been trying to rescue the half angle formulas from oblivion and give them the status they deserve by showing its many applications.

Various proofs of the formulas of compound angles are given here. The cosine of the sum of two angles is given by the formula

$$\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\tag{1}$$

Proof. We take advantage of the cyclic nature of the half angle formulas whose proof can be found here. The proof of the half angle formulas given in the link makes use of the Pythagorean trigonometric identity and the double-angle formula for sine whose proofs (I hope you clicked on the links) are independent of the compound angle formulas.

Suppose $\triangle{ABC}$ is a triangle with sides $|BA|=a$, $|AC|=b$ and $|AB|=c$. Let $\angle{BAC}=2\alpha$, $\angle{CBA}=2\beta$ and $\angle{ACB}=2\gamma$. Let's start with the right-hand side of formula $(1)$. Substituting from the half angle formulas we have 

$$\begin{aligned} \cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} &= \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}\cdot{\frac{s(s-b)}{ac}}}-\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}\cdot{\frac{(s-a)(s-c)}{ac}}}\\&=\frac{s}{c}\cdot{\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{ab}}}-\frac{s-c}{c}\cdot{\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{ab}}}\\&=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{ab}}\cdot{\left(\frac{s}{c}-\frac{s-c}{c}\right)}\\&=\sin{\gamma}\\&=\sin{\left(\frac{\pi}{2}-(\alpha+\beta)\right)}\\&=\cos{(\alpha+\beta)}\end{aligned}$$

$\square$

The other formulas of compound angles can be obtained similarly.