Éste es el problema 311 en GoGeometry.com.
En la figura de abajo, el círculo $C$ está inscrito en el semicírculo con diámetro $AB$. Si $D$ y $E$ son puntos de tangencia, demuestra que
$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{2}{x^2}$$
Demostración.
Hagamos $G$ la extensión de $AB$ tal que $EG$ es tangente al semicírculo en $E$.
Note que
$$BG=EG-b$$
$$(a + b + EG - b)(EG - b) = EG^2$$
$$x^2(OB+BG)=(OE^2)(DG)+(EG^2)(OD)-(OD)(DB)(OB)$$
$$x^2(\frac{a^2+b^2}{2a-2b})=(\frac{a+b}{2})^2(\frac{ab}{a-b})+(\frac{ab}{a-b})^2(\frac{a+b}{2}-b)-(\frac{a^2+b^2}{2a-2b})(\frac{ab}{a-b})(\frac{a+b}{2}-b)$$
$$\frac{x^2(a^2+b^2)}{2a-2b}=\frac{a^2b^2}{a-b}$$
Despejando $EG$
$$EG = \frac{ab}{a-b}$$
También tenemos que
$$OD = \frac{a+b}{2}-b$$
$$DE=x$$
Ahora, aplicando el teorema de Stewart a $\triangle{OEG}$
Reescribiendo en términos de $a$, $b$ y $x$
Simplificando
$$x^2a^2 + x^2b^2=2a^2b^2$$
Dividiendo por $a^2b^2x^2$
$$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}=\frac{2}{x^2}$$
$$Q.E.D.$$
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