Un problema de Igor Volzhin

Problema. Sea $\Gamma$ una circunferencia de centro $O$ y radio $R$. Desde un punto exterior $P$ se trazan las dos tangentes a $\Gamma$, que la tocan en los puntos $X$ e $Y$, siendo $X$ el punto de tangencia superior e $Y$ el punto de tangencia inferior. Sea $Q$ el primer punto de intersección de la recta $PO$ con la circunferencia $\Gamma$, al recorrer dicha recta desde $P$ hacia $O$. Se sabe que $QX=a$. La recta $XQ$ corta al segmento $PY$ en un punto $Z$ tal que $QZ=b$. Demuestre que el radio $R$ de la circunferencia puede expresarse en función de $a$ y $b$ mediante la fórmula

$$R=\frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{3b-a}}.$$

Demostración. Note que $PQ$ es la bisectriz de $\angle{XPY}$. Por lo tanto, usando la fórmula para la longitud de la bisectriz en el triángulo $XPZ$, tenemos:

$$PQ^2=\frac{PX\cdot{PZ}}{(PX+PZ)^2}\left[(PX+PZ)^2-(a+b)^2\right].\tag{1}$$

Por el teorema de la bisectriz tambien tenemos que 

$$\frac{a}{b}=\frac{PX}{PZ} \Longrightarrow PZ=\frac{b}{a}PX.\tag{2}$$

Consecuentemente, 

$$YZ=PY-PZ=PX-\frac{b}{a}PX=PX\left(\frac{a-b}{a}\right).\tag{3}$$

Por potencia de un punto $YZ^2=ZQ\cdot{ZX}$. Sustituyendo, obtenemos 

$$PX^2\left(\frac{a-b}{a}\right)^2=b(a+b) \Longrightarrow PX^2=\frac{a^2b(a+b)}{(a-b)^2}.\tag{4}$$

Sustituyendo $(2)$ en $(1)$, simplificando y luego sustituyendo $(4)$ en $(1)$, 

$$PQ^2=\frac{ab^2(a+b)}{(a-b)^2}-ab=\frac{a^2b(3b-a)}{(a-b)^2}.\tag{5}$$

Nuevamente, por potencia de un punto, 

$$PX^2=PQ(PQ+2R) \Longrightarrow R=\frac{PX^2-PQ^2}{2PQ}.\tag{6}$$

Sustituyendo $(4)$ y $(5)$ en $(6)$ y simplificando, obtenemos

$$\boxed{R=\frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{3b-a}}.}$$

Por la configuración, $b<a$ y necesariamente $3b>a$, de modo que la raíz de $3b−a$ tiene sentido.