sábado, 27 de julio de 2019

Propiedades del logo de la ACRD

He aquí algunos problemas inspirados en el logo de la Academia de Ciencias de la República Dominicana. La figura consiste en un triángulo equilátero y un cuadrado inscritos en una circunferencia como muestra la figura. Tanto el cuadrado como el triángulo equilátero son simétricos con respecto a un eje de simetría y.

Logo original de la $ACRD$:



Problema 1Si $H$, $I$ y $J$ son puntos medios, demostrar que $\frac{HI}{IJ} = \sqrt{2}$.


Problema 2. Desde $C$, tracemos una línea perpendicular a $FG$ de tal modo que corte al lado $FG$ en $I$ y al lado $EG$ en $J$. Denotemos con $H$ la proyección ortogonal de $G$ en el lado $DC$. Si $CI=a$, $GH=b$ e $IJ=c$, demostrar que $c-a=2b$. 


Problema 3. Llamemos $O$ a la intersección de la mediatriz de la cuerda $CG$ y la perpendicular desde $D$ a $EG$. Si $DO$ corta a $EG$ en $N$, demostrar que $DN=NO$.


Problema 4. $H$ e $I$ son los puntos donde la perpendicular desde $C$ a $FG$ corta los lados $FG$ y $EG$, respectivamente. Si $J$ es la proyección ortogonal de $D$ en $EG$, demuestra que $IJ = GJ$.



Problema 5. Si $M$ es el punto medio de la cuerda $CG$, encuentra la medida del ángulo $\angle{DOM}$.