jueves, 22 de febrero de 2018

Triángulos Semejantes y Cevianas

Algunos casos particulares de este resultado se han considerado previamente en este blog. Ver aquí y aquí.




$P$ y $Q$ son dos puntos en el interior de un triángulo $ABC$. $\triangle{A_pB_pC_p}$ y $\triangle{A_qB_qC_q}$ son los triángulos cevianos de $P$ y $Q$, respectivamente. Sobre los segmentos $BA_p$ y $CA_q$, se construyen los triángulos similares (y en la misma dirección) $\triangle{A_bApB}$ y $\triangle{A_cA_qC}$. Similarmente, construya $\triangle{B_cB_qC}$, $\triangle{AB_aB_p}$, $\triangle{AC_aC_q}$, $\triangle{BC_bC_p}$ (los triángulos erectos en un lado no son necesariamente similares a los de otro lado). La línea $A_bA_c$ intersecta las líneas $B_aB_c$, $C_aC_b$ en $Z$, $Y$, respectivamente. Las líneas $B_aB_c$, $C_aC_b$ se intersectan en $X$. 

Demuestre que $AX$, $BY$ y $CZ$ concurren. 




Demostración.

Apelaremos a la versión trigonométrica del Teorema de Ceva para demostrar la concurrencia.

Por la ley de senos,

$$\frac{B_cC}{sen\angle{CB_qB_c}}=\frac{B_qC}{sen\angle{CB_cB_q}}$$

$$B_cC=\frac{B_qC\cdot{sen\angle{CB_qB_c}}}{sen\angle{CB_cB_q}}$$

$$\frac{B_qC\cdot{sen\angle{CB_qB_c}}}{sen\angle{CB_cB_q}\cdot{sen\angle{B_cZC}}}=\frac{CZ}{sen\angle{CB_cZ}}$$

$$sen\angle{B_cZC}=\frac{B_qC\cdot{sen\angle{CB_qB_c}}\cdot{sen\angle{CB_cZ}}}{CZ\cdot{sen\angle{CB_cB_q}}}$$

Análogamente, 

$$sen\angle{B_aXA}=\frac{AB_p\cdot{sen\angle{AB_pB_a}}\cdot{sen\angle{AB_aX}}}{AX\cdot{sen\angle{AB_aB_p}}}$$

De donde obtenemos:

$$\frac{sen\angle{B_cZC}}{sen\angle{B_aXA}}=\frac{AX\cdot{B_qC}\cdot{sen\angle{CB_qB_c}}\cdot{sen\angle{CB_cZ}}}{CZ\cdot{AB_p}\cdot{sen\angle{AB_pB_a}}\cdot{sen\angle{AB_aX}}}$$

Ahora fijemos la atención en el cuadrilátero $XACZ$. Consideramos el caso en que los segmentos $AB_p$ y $CB_q$ no se solapan, sin embargo, un simple ajuste a la demostración será necesario para los casos en que se solapen o $B_p=B_q$.



Note que por ser $\triangle{AB_aB_p}$ similar a $\triangle{B_cB_qC}$, tenemos

$$\frac{sen\angle{CB_qB_c}}{sen\angle{AB_pB_a}}=\frac{sen\angle{CB_qB_c}}{sen\angle{B_qCB_c}}=\frac{B_cC}{B_cB_q}$$

Si $D$ es la intersección de las líneas $B_aB_p$ y $B_cB_q$, por el Teorema de Tales tenemos las siguientes proporciones:

$$\frac{CB_q}{B_cB_q}=\frac{CB_p}{B_cD}$$

$$\frac{AB_p}{B_aB_p}=\frac{AB_q}{B_aD}$$

$$\frac{B_cD}{B_aD}=\frac{CB_p\cdot{B_cB_q}\cdot{AB_p}}{CB_q\cdot{AB_q}\cdot{B_aB_p}}=\frac{sen\angle{B_cB_aB_p}}{sen\angle{B_aB_cB_q}}=\frac{sen\angle{CB_cZ}}{sen\angle{AB_aX}}$$

De este modo reescribimos 

$$\frac{sen\angle{B_cZC}}{sen\angle{B_aXA}}=\frac{AX\cdot{B_qC}\cdot{sen\angle{CB_qB_c}}\cdot{sen\angle{CB_cZ}}}{CZ\cdot{AB_p}\cdot{sen\angle{AB_pB_a}}\cdot{sen\angle{AB_aX}}}=$$

$$\frac{AX\cdot{B_qC}\cdot{B_cC}\cdot{CB_p}\cdot{B_cB_q}\cdot{AB_p}}{CZ\cdot{AB_p}\cdot{B_cB_q}\cdot{CB_q}\cdot{AB_q}\cdot{B_aB_p}}$$

$$\frac{sen\angle{B_cZC}}{sen\angle{B_aXA}}=\frac{AX\cdot{B_cC}\cdot{CB_p}}{CZ\cdot{AB_q}\cdot{B_aB_p}}=\frac{AX\cdot{B_qC}\cdot{CB_p}}{CZ\cdot{AB_p}\cdot{AB_q}}$$

Por analogía, 

$$\frac{sen\angle{A_cZC}}{sen\angle{A_bYB}}=\frac{CZ\cdot{BA_p}\cdot{BA_q}}{BY\cdot{CA_q}\cdot{CA_p}}$$

$$\frac{sen\angle{C_bYB}}{sen\angle{C_aXA}}=\frac{BY\cdot{BC_p}\cdot{BC_q}}{AX\cdot{AC_q}\cdot{AC_p}}$$

Por una simple inspección notamos, que por el Teorema de Ceva, la expresión siguiente se reduce a uno.

$$\frac{sen\angle{B_cZC}}{sen\angle{B_aXA}}\cdot\frac{sen\angle{A_cZC}}{sen\angle{A_bYB}}\cdot\frac{sen\angle{C_bYB}}{sen\angle{C_aXA}}=$$

$$\frac{AX\cdot{B_qC}\cdot{CB_p}}{CZ\cdot{AB_p}\cdot{AB_q}}\cdot\frac{CZ\cdot{BA_p}\cdot{BA_q}}{BY\cdot{CA_q}\cdot{CA_p}}\cdot\frac{BY\cdot{BC_p}\cdot{BC_q}}{AX\cdot{AC_q}\cdot{AC_p}}=1$$

$$Q.E.D.$$


sábado, 10 de febrero de 2018

Rompiendo el hielo

"Haga lo que pueda, con lo que tenga, donde esté."

Thomas Alva Edison. Inventor estadounidense.


Antes de que me crucifiquen por auto-promoción, tengo que decir que agoté todos los medios a mi alcance para evitar caer en la narcisista tarea de escribir sobre mi propio trabajo. Tuve correspondencia con dos matemáticos locales de las universidades más caras del país, pero, desafortunadamente, ninguno tenía suficiente experiencia en geometría plana como para ponderar mi trabajo. Así que he decidido hacerlo yo mismo, después de todo, ¿quién conoce mi trabajo mejor que yo? Además, siento que promoviendo mi trabajo estoy, de algún modo, promoviendo la matemática en mi país. Y si recordamos lo mal parados que salimos en los últimos informes PISA, creo que en vez de incurrir en un pecado al auto-promoverme, estoy aportando mi granito de arena a la causa. 

El estatus de mis contribuciones.
Sobre el estatus de mis contribuciones tengo que aclarar algo: mi trabajo pertenece a una disciplina elemental y algo desfasada. Ahora bien, con esto no quiero decir que no haya en absoluto interés en el área, o que no pueda encontrarse un problema que te deje frustrado por algunas semanas. Revistas como Forum Geometricorum, la “Encyclopedia of Triangle Centers”, el “Journal of Classical Geometry” y más que podría mencionar, demuestran que aún queda algo de respeto por la geometría clásica. El valor actual de la geometría clásica reside en su labor didáctica. Pero esto tampoco quiere decir que no pueden encontrarse resultados impactantes en geometría plana. La Línea de Euler, la Circunferencia de los Nueve Puntos, el Teorema de Morley, o resultados más recientes como el Teorema de Lester y la Circunferencia de Lamoen, son resultados que dudo cualquier matemático no admita como verdaderas obras maestras. En este vídeo, del minuto 22:22 hasta el minuto 25:57, Cedric Villani, medallista Fields, habla sobre el status de la geometría del triángulo hoy en día. Dijo lo siguiente:

"Cuando tenía 14 ó 15 años, me fascinó este libro de demostraciones matemáticas, en particular se trataba de la geometría del triángulo, como en la antigua Grecia. Este era mi libro favorito entonces, se llama Geometría del Triángulo. La geometría del triángulo está llena de milagros. Algunas veces dibujas unas líneas y se cruzan en un punto, como si fuera un milagro, y algunas veces ves puntos que están en la misma línea como si fuera un milagro. Pero lo que aprendes es que no hay milagros, y para todas estas elegantes coincidencias encuentras una explicación, y pasas el tiempo reemplazando elegantes coincidencias por elegantes explicaciones. Toda la ciencia es así, hasta cierto punto. También debo decir que la geometría del triángulo no tiene absolutamente ningún uso. Ya no se hace investigación de este tema y para la vida cotidiana tampoco tiene aplicación. Pero fue haciendo ésto cómo me entrené en hacer demostraciones de adolescente. Así que me fue muy útil. Y cuando recibí la Medalla Fields, y también mi colega Ngo Bao Chau la recibió al mismo tiempo, ambos fuimos al parlamento a discutir algunos programas matemáticos, y le preguntaron a Ngo Bao qué le gustaba de los programas matemáticos y su respuesta fue: geometría elemental, geometría del triángulo, era lo mejor. Luego me preguntaron a mí y dije exactamente lo mismo. Pero ninguno de los dos hacemos este tipo de geometría ahora. Y por supuesto, no es el único camino para aprender a hacer demostraciones. Pero cuando eres adolescente el primer objetivo del corazón de las matemáticas es entender cómo hacer demostraciones y la geometría elemental es un buen laboratorio para eso.”

Sobre cómo empezó todo.
Mi madre dice que nací un 13 de Junio del año 1988. Hacia el 1836, Frederick Tiedmann escribió que existe una conexión indiscutible entre el tamaño del cerebro y la energía mental desplegada por un hombre. No sé qué tan familiarizado haya estado mi tío-abuelo, José José, con las teorías de Tiedmann, pero poco después de haber nacido, mi gran cabeza parece haberle inspirado a profetizar, cual oráculo, que sería inteligente. Afortunadamente, la desproporción entre el tamaño de mi cabeza y mi cuerpo desapareció con el tiempo, pero, al parecer, mi “energía mental” no corrió la misma suerte, y la profecía de mi tío-abuelo se consumó, o por lo menos eso quiero creer. Por cierto, la supuesta conexión entre el tamaño de la cabeza de una persona y su inteligencia no está del todo clara, y quiero considerarme más apasionado y obsesivo que inteligente.

Siempre canalicé mi energía mental y corporal a perfeccionarme en actividades que requiriesen algo de neuronas: ajedrez, damas chinas, cubo de Rubick, matemáticas, escribir, etc. Nunca vi mis estudios en secundaria como un reto, así que me ponía tareas más difíciles, por ejemplo: descubrir por cuenta propia la lógica detrás de los procedimientos y fórmulas que venían en los libros de matemáticas. Llegué a ser finalista en las olimpiadas de ciencias en dos categorías: química y física. Me gradué de bachiller con honores. Pero no fue hasta los 24 años, mientras estudiaba ingeniería civil, que descubrí mi verdadera pasión: la geometría.

En el año 2013 descubrí foros asiáticos en Internet donde los miembros se dedicaban a resolver problemas reto. Los miembros tenían un común denominador: todos eran unos verdaderos maniáticos de las matemáticas. Estos foros eventualmente terminaron exacerbando mi adicción hacia las matemáticas, a tal punto, que no quería hacer otra cosa y olvidarme de comer, bañarme e irme tarde a cama no era raro. Esta forma de vida pronto comenzó a deteriorar mi salud. Empecé a perder la coordinación al caminar y las palpitaciones me impedían dormir. Con todo y aunque usted no lo crea, mientras peor me sentía, más deleite encontraba yo en la geometría. Y esto es así, porque no todo era mal. En el año 2014 publiqué mi primer artículo "Note on Reflections" (citado por Roger Alperin en ""Reflections on Poncelet's Pencil"), publicado por el Department of Mathematical Sciences de la Florida Atlantic University en su revista Forum Geometricorum. En 2015, publiqué mi segundo artículo en la misma revista con título "Another Archimedean Circle in an Arbelos". Sin embargo, mi mejor resultado sobre círculos de Arquímedes fue publicado en la página web del doctor Alexander Bogomolny, Cut-the-knot.org, con título "Garcia's Archimedean Quadruplets" (ver mi artículo "El Arbelos y esos Círculos Gemelos de Arquímedes"). La razón por la que este resultado es superior al que publiqué en Forum Geometricorum es porque empata dos teoremas en uno. Algo muy bien visto en ciencias y matemáticas es cuando dos conceptos que aparentemente no guardan conexión entre ellos, son emparejados. En abril del año 2014 introduje dos nuevos triángulos notables (outer/inner García Triangle en la "Encyclopedia of Triangle Centers") que compiten en propiedades con los triángulos de Hexyl y Furhmann. Randy Hutson, Bernard Gibert y Clark Kimberling aún siguen encontrando propiedades interesantes de mis triángulos. En el año 2016 colaboré en un artículo, "Golden Sections of Triangle Centers in the Golden Triangles", junto al Dr. Paul Yiu (como consecuencia de este artículo tengo Número de Erdos igual a 4). En 2018 introduje el “Garcia-Reflection Triangle”, cuyas propiedades pueden consultarse en la octava parte de la Encyclopedia of Triangle Centers. Como compositor de problemas, algunas de mis composiciones se han incorporado a la magnífica colección de puntos de concurrencia del Dr. Hans Walser, Alemania. En la segunda edición del libro "Geometry in Figures", del matemático ruso Arseniy Akopyan, se me acredita el resultado 8.1.23. La primera edición de este libro está disponible gratuitamente aquí

Quizá sea necesario añadir que jamás he leído un solo libro enfocado exclusivamente en geometría plana. Estoy seguro que la gran mayoría (por no decir todos) de los participantes de la IMO (la más prestigiosa olimpiada matemática del mundo) primero estudian teoría y luego resuelven problemas. Mi proceder, de hecho, es al revés. Me explico: lo primero que procuro es encontrar patrones geométricos interesantes. Esto puede requerir mucho tiempo, y mucho más si no se cuenta con algún software dinámico. Una vez encuentro algo interesante, entonces empiezo a averiguar cómo demostrarlo. Es ahí donde empiezo a estudiar de Internet teoremas que posiblemente puedan ayudarme a dar con la prueba. Así es como lo he hecho siempre y no es raro que me tome en algunas ocasiones hasta una semana para demostrar un teorema. Obviamente, por el tiempo que llevo haciendo esto, no siempre necesito estudiar de Internet antes de afrontar un problema.

Es difícil encontrar un método que te garantice ser productivo en matemáticas. No hay recetas para la creatividad. Pero lo que sí está claro es que (y la historia lo demuestra) seguir rutas distintas a las convencionales puede convertirse en la clave para la creatividad matemática.


Mis apariciones en medios de comunicación.
Programa "El Despertador": Dominicano con aportes en geometría plana.