miércoles, 28 de febrero de 2024

A family of trigonometric formulas for the roots of quadratic equations

 This note presents alternative trigonometric formulas for finding the roots of quadratic equations where $a$, $b$, and $c$ are non-zero real numbers.

Before the era of calculators, trigonometric formulas were favored for computing quadratic roots due to their time and labor-saving benefits. However, it's not advisable nowadays to rely on these formulas over the traditional quadratic formula for root calculations. Nonetheless, the trigonometric formulas showcased in this note have hinted at certain identities that appear useful for integrating trigonometric functions. Thus, the sole purpose of this note is to document the origins of these identities.

Theorem 1. Let $a$, $b$, and $c$ be non-zero real numbers. For the quadratic equation $ax^2+bx+c=0$, the roots are given by:

$$x_{1}=  ie^{i\alpha}\sqrt{\frac{c}{a}}\qquad \text{and}\qquad  x_2=-ie^{-i\alpha}\sqrt{\frac{c}{a}},\tag{1}$$

where $\alpha=\sin^{-1}{\left(\frac{b}{2\sqrt{ac}}\right)}$.

Proof. Consider the quadratic equation $a^2+bx+c=0$. Multiplying both sides by $a$ and making the substitutions $ax=p$ and $ac=q^2$ yields

$$p^2+bp+q^2=0.$$

Let's make the substitution $\sin{\alpha} = \frac{b}{2q}$. Consequently,

$$\begin{aligned}0&=p^2+bp+q^2\\&=p^2+2qp\sin{\alpha}+q^2\\&=p^2\left(\sin^2{\frac{\alpha}{2}}+\cos^2{\frac{\alpha}{2}}\right)+4qp\sin{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}}+q^2\left(\sin^2{\frac{\alpha}{2}}+\cos^2{\frac{\alpha}{2}}\right)\\&=\left(p\sin{\frac{\alpha}{2}}+q\cos{\frac{\alpha}{2}}\right)^2 + \left(p\cos{\frac{\alpha}{2}}+q\sin{\frac{\alpha}{2}}\right)^2\\&=\left(p\sin{\frac{\alpha}{2}}+q\cos{\frac{\alpha}{2}}\right)^2  -i^2\left(p\cos{\frac{\alpha}{2}}+q\sin{\frac{\alpha}{2}}\right)^2 .\end{aligned}$$

Factorizing the difference of squares and then factorizing again, one of the factor of the quadratic equation can be express as follows

$$p\left(\sin{\frac{\alpha}{2}}+i\cos{\frac{\alpha}{2}}\right)+q\left(\cos{\frac{\alpha}{2}}+i\sin{\frac{\alpha}{2}}\right).$$

Setting the factor equal to zero, undoing the substitutions $ax=p$ and $ac=q^2$ and solving for $x$, we obtain 

$$\begin{aligned}x_1&=-\left(\frac{\cos{\frac{\alpha}{2}}+i\sin{\frac{\alpha}{2}}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}+i\cos{\frac{\alpha}{2}}}\right)\sqrt{\frac{c}{a}}\\&= -(\sin{\alpha}-i\cos{\alpha})\sqrt{\frac{c}{a}}\\&=ie^{i\alpha}\sqrt{\frac{c}{a}}. \end{aligned}$$

The other factor is given by

$$p\left(\sin{\frac{\alpha}{2}}-i\cos{\frac{\alpha}{2}}\right)+q\left(\cos{\frac{\alpha}{2}}-i\sin{\frac{\alpha}{2}}\right).$$

And similarly,

$$x_2=-ie^{-i\alpha}\sqrt{\frac{c}{a}}.$$ 

Theorem 2. For the quadratic equation $ax^2+bx+c=0$ with non-zero real numbers $a$, $b$, and $c$, the roots are given by:

$$x_{1}=-\tan{\frac{\beta}{2}}\sqrt{\frac{c}{a}}\qquad \text{and} \qquad x_{2}=-\cot{\frac{\beta}{2}}\sqrt{\frac{c}{a}},\tag{2}$$

where $\beta=\csc^{-1}{\left(\frac{b}{2\sqrt{ac}}\right)}$.

Proof. Multiplying by $a$ the quadratic equation $ax^2+bx+c=0$ and then substituting $ax=p$ and $ac=q^2$, we have

$$p^2+bp+q^2=0.$$

Use the substitution $\csc{\beta}=\frac{b}{2q}$, then

$$\begin{aligned}0&=p^2+bp+q^2\\&=p^2+2qp\csc{\beta}+q^2\\&=\csc{\beta}\left(p^2\sin{\beta}+2qp+q^2\sin{\beta}\right)\\&=2p^2\sin{\frac{\beta}{2}}\cos{\frac{\beta}{2}}+2qp\left(\sin^2{\frac{\beta}{2}}+\cos^2{\frac{\beta}{2}}\right)+2q^2\sin{\frac{\beta}{2}}\cos{\frac{\beta}{2}}\\&=p^2\sin{\frac{\beta}{2}}\cos{\frac{\beta}{2}}+qp\sin^2{\frac{\beta}{2}}+ qp\cos^2{\frac{\beta}{2}}+q^2\sin{\frac{\beta}{2}}\cos{\frac{\beta}{2}}\\&= p\sin{\frac{\beta}{2}}\left(p\cos{\frac{\beta}{2}}+q\sin{\frac{\beta}{2}}\right)+q\cos{\frac{\beta}{2}}\left(p\cos{\frac{\beta}{2}}+q\sin{\frac{\beta}{2}}\right)\\&= \left(p\cos{\frac{\beta}{2}}+q\sin{\frac{\beta}{2}}\right)\left(p\sin{\frac{\beta}{2}}+q\cos{\frac{\beta}{2}}\right).\end{aligned}$$

By setting the factors equal to zero, undoing substitutions $ax=p$ and $ac=q^2$ and solving for $x$, we obtain the desired formulas in $(2)$.

Theorem 3. Let $a$, $b$ and $c$ be non-zero real numbers. If $ax^2+bx+c=0$, then the roots are given by:

$$x_{1}=  -e^{i\gamma}\sqrt{\frac{c}{a}}\qquad \text{and}\qquad  x_2=-e^{-i\gamma}\sqrt{\frac{c}{a}},\tag{3}$$

where $\gamma=\cos^{-1}{\left(\frac{b}{2\sqrt{ac}}\right)}$.

Proof. Consider the quadratic equation $ax^2+bx+c=0$. Multiplying both sides by $a$ and substituting $ax=p$ and $ac=q^2$ yields

$$p^2+bp+q^2=0.$$

By making the substitution $\cos{\gamma} = \frac{b}{2q}$, it follows that

$$\begin{aligned}0&=p^2+bp+q^2\\&=p^2+2qp\cos{\gamma}+q^2\\&=p^2\left(\sin^2{\frac{\gamma}{2}}+\cos^2{\frac{\gamma}{2}}\right)+4qp\left(\cos^2{\frac{\gamma}{2}}-\sin^2{\frac{\gamma}{2}}\right)+q^2\left(\sin^2{\frac{\gamma}{2}}+\cos^2{\frac{\gamma}{2}}\right)\\&=\sin^2{\frac{\gamma}{2}} (p-q)^2+\cos^2{\frac{\gamma}{2}}(p+q)^2\\&=\sin^2{\frac{\gamma}{2}} (p-q)^2-i^2\cos^2{\frac{\gamma}{2}}(p+q)^2.\end{aligned}$$

By factoring the difference of squares first and then applying further factorization, one of the factors of the quadratic equation can be represented as follows

$$p\left(\sin{\frac{\gamma}{2}}+i\cos{\frac{\gamma}{2}}\right)+q\left(-\sin{\frac{\gamma}{2}}+i\cos{\frac{\gamma}{2}}\right).$$

Setting the factors equal to zero, undoing substitutions $ax=p$ and $ac=q^2$ and solving for $x$, we obtain

$$\begin{aligned}x_1&=\left(\frac{\sin{\frac{\gamma}{2}}-i\cos{\frac{\gamma}{2}}}{\sin{\frac{\gamma}{2}}+i\cos{\frac{\gamma}{2}}}\right)\sqrt{\frac{c}{a}}\\&= -(\cos{\gamma}+i\sin{\gamma})\sqrt{\frac{c}{a}}\\&=-e^{i\gamma}\sqrt{\frac{c}{a}}.\end{aligned}$$

The other factor is given by

$$p\left(\sin{\frac{\gamma}{2}}-i\cos{\frac{\gamma}{2}}\right)-q\left(\sin{\frac{\gamma}{2}}+i\cos{\frac{\gamma}{2}}\right).$$

And similarly,

$$x_2=-e^{-i\gamma}\sqrt{\frac{c}{a}}.$$

Theorem 4. Let $a$, $b$ and $c$ be non-zero real numbers. If $ax^2+bx+c=0$, then the roots are given by: 

$$x_{1,2}=\frac{\tan{\frac{\delta}{2}\pm1}}{\tan{\frac{\delta}{2}\mp1}}\sqrt{\frac{c}{a}},\tag{4}$$

where $\delta=\sec^{-1}{\left(\frac{b}{2\sqrt{ac}}\right)}$.

Proof. Consider the quadratic equation $ax^2+bx+c=0$. Multiplying both sides by $a$ and substituting $ax=p$ and $ac=q^2$ yields

$$p^2+bp+q^2=0.$$

Use the substitution $\sec{\delta}=\frac{b}{2q}$, then

$$\begin{aligned}0&=p^2+bp+q^2\\&=p^2+2qp\sec{\delta}+q^2\\&=\sec{\delta}\left(p^2\cos{\delta}+2qp+q^2\cos{\delta}\right)\\&=\cos{\delta}(p^2+q^2)+2qp\\&= \cos{\delta}(p+q)^2-2qp\cos{\delta}+2qp\\&= \left(\cos^2{\frac{\delta}{2}}-\sin^2{\frac{\delta}{2}}\right)(p+q)^2-2qp\left(1-2\sin^2{\frac{\delta}{2}}\right)+2qp\\&=  \cos^2{\frac{\delta}{2}}(p+q)^2 -\sin^2{\frac{\delta}{2}}(p+q)^2 +4qp\sin^2{\frac{\delta}{2}}\\&=   \cos^2{\frac{\delta}{2}}(p+q)^2 -\sin^2{\frac{\delta}{2}}\left((p+q)^2 -4qp\right)\\&= \cos^2{\frac{\delta}{2}}(p+q)^2 -\sin^2{\frac{\delta}{2}}(p-q)^2\\&= \left(\cos{\frac{\delta}{2}}(p+q) +\sin{\frac{\delta}{2}}(p-q)\right) \left(\cos{\frac{\delta}{2}}(p+q) -\sin{\frac{\delta}{2}}(p-q)\right).\end{aligned}$$

Expanding and then factorizing again, one of the factors of the quadratic equation is given by

$$p\left(\cos{\frac{\delta}{2}}+\sin{\frac{\delta}{2}}\right)+q\left(\cos{\frac{\delta}{2}}-\sin{\frac{\delta}{2}}\right).$$ 

By setting the factors equal to zero, undoing substitutions $ax=p$ and $ac=q^2$ and solving for $x$, we obtain

$$\begin{aligned}x_1&=\frac{\sin{\frac{\delta}{2}}+\cos{\frac{\delta}{2}}}{\sin{\frac{\delta}{2}}-\cos{\frac{\delta}{2}}}\sqrt{\frac{c}{a}}\\&= \frac{\tan{\frac{\delta}{2}+1}}{\tan{\frac{\delta}{2}-1}}\sqrt{\frac{c}{a}}. \end{aligned}$$

The other factor is given by

$$p\left(\cos{\frac{\delta}{2}}-\sin{\frac{\delta}{2}}\right)+q\left(\cos{\frac{\delta}{2}}+\sin{\frac{\delta}{2}}\right).$$

Similarly, 

$$x_2=\frac{\tan{\frac{\delta}{2}-1}}{\tan{\frac{\delta}{2}+1}}\sqrt{\frac{c}{a}}.$$

jueves, 15 de febrero de 2024

Integrals yielding $e^{\pi}$ or $e^{-\pi}$

 Lately, I've been playing a lot with integrals, and coincidentally (with a bit of algebraic manipulation), I've come across these two beauties:

$$\int_{0}^{1} \left(\frac{5}{2} \left((x - \sqrt{x^2 - 1})^{2i} + x^4\right) - 1\right) \, dx = e^{\pi},\tag{1}$$

$$\int_{0}^{1} \left( -\frac{5}{2\left( x - \sqrt{x^2 - 1}\right)^{2i}} - \frac{5x^4}{2} + 1 \right) \, dx = e^{-\pi}.\tag{2}$$

$e^{\pi}$ is known as Gelfond's constant.

I have provided these integrals as a response to a question on MathSE. The proofs are left as exercises for the reader.


miércoles, 7 de febrero de 2024

Solving 'impossible' integrals with a new trick

"Complexification formulas are great and it seems like this simplifies the right away."
Ninad Munshi

The following identities have been suggested based on formulas in a previous question of mine.

If complex $\theta_1=\cos^{-1}(p)$ and $\theta_2=\sec^{-1}(p)$, where $p\in(-1, 0) \cup (1, \infty)$, then the following relation holds:

$$e^{i\theta_1}=\frac{1-\tan\frac{\theta_2}{2} }{1+\tan\frac{\theta_2}{2}}.
\tag{1}\label{463459_1}$$

And for $p\in(-\infty, -1)\cup (0, 1)$, we have

$$e^{-i\theta_1}=\frac{1-\tan\frac{\theta_2}{2} }{1+\tan\frac{\theta_2}{2}}. \tag{2}\label{463459_2}$$

If complex $\theta_1=\sin^{-1}(p)$ and $\theta_2=\csc^{-1}(p)$, where $p\in(-\infty, -1)\cup (0, 1)$, then the following relation holds:

$$ie^{i\theta_1}=-\tan\frac{\theta_2}{2}.\tag{3}\label{463459_3}$$

And for $p\in(-1, 0) \cup (1, \infty)$ we have

$$ie^{-i\theta_1}=\tan\frac{\theta_2}{2}.\tag{4}\label{463459_4}$$

There are several variants that we can obtain by equating (and simplifying) the trigonometric formulas for quadratic equations from my previous question.

I have noticed that for certain trigonometric integrals defined over permissible intervals of $p$, the evaluation simplifies considerably. For instance, consider the following definite integral:

$$\int_2^5 \sqrt{\tan\left(\frac{\csc^{-1}(x)}{2}\right)} \,dx.\tag{5}$$

This integral calculator returns the following (although Wolfram Alpha solves it):

No antiderivative could be found within the given time limit, or all supported integration methods were tried unsuccessfully. Note that many functions don't have an elementary antiderivative.

But it gives an approximation of $1.178881841955109.$

Given that the interval $[2, 5]$ is within the permissible values of $p$, we can use $e^{i\cos^{-1}(p)}=\tan\frac{\csc^{-1}(p)}{2}$ (derived from identities $(1)$ and $(4)$, valid for $p\in[-1, 0) \cup [1, \infty)$, to convert $(5)$ into

$$\int_2^5 \sqrt{e^{i\cos^{-1}(x)}}\,dx.\tag{6}$$

The same calculator provides the same answer but now displaying the steps as well. As a second example, Mathematica  is unable to solve this integral:

$$\int_{2}^{3}  \frac{{1 - \tan\frac{{\sec^{-1}x}}{2}}}{{1 + \tan\frac{{\sec^{-1}x}}{2}}}\sqrt{\tan\frac{\csc^{-1}x}{2}}\,dx\tag{7}$$

Neither this integral calculator. Although both the calculator and Wolfram Alpha can give you a numerical approximation. However, thanks to this new trick, you can convert $(7)$ into

$$\int_{2}^{3} e^{\frac{3i\arccos(x)}{2}}\,dx\tag{8}$$

Note that this integral calculator has no problem solving (elegantly!) integral $(8)$.

Other examples of integrals that at least Wolfram Alpha is not capable of solving but that can be evaluated using the transformations described in this blog (each integral is linked to its solution in the integral calculator):




So far I have considered integrals involving $\tan{\left(\frac12\csc^{-1}x\right)}$. However, this technique can be applied to a countless number of cases that surpass my initial expectations. For example, consider the integral $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{20}}\sqrt{\tan{x}}\,dx$. This can be solved by letting $x=\frac12\csc^{-1}t$, where $\,dx=-\frac{1}{2t\sqrt{t^2-1}}\,dt$, transforming the original integral into $-\frac12\int_{\csc(\frac{\pi}{2})}^{\csc(\frac{\pi}{10})}e^{\frac12i\arccos(t)} \left(\frac{1}{t\sqrt{t^2-1}}\right) \, dt$. Certainly, there will be instances where employing these transformations might seem overly intricate, akin to cutting bread with a saw. However, what I aim to emphasize is the remarkable versatility of this technique.

Related material

sábado, 13 de enero de 2024

Trigonometric formula for solving quadratic equations

In this note, we provide an alternative trigonometric formula for solving quadratic equations where $a$, $b$, and $c$ are non-zero real numbers.

If $ax^2+bx+c=0$, then 
$$x_{1,2}=\left(1\pm\frac{2}{\tan{\frac{\theta}{2}\mp1}}\right)\sqrt{\frac{c}{a}},$$

where $\theta=\sec^{-1}{\left(\frac{b}{2\sqrt{ac}}\right)}$.

Proof. Multiplying by $a$ the quadratic equation we have

$$(ax)^2+b(ax)+ac=0.$$

Let's make the substitution $\sec{\theta}=\frac{b}{2\sqrt{ac}}$, then

$$\begin{aligned}0&=(ax)^2+b(ax)+ac\\&=(ax)^2+2\sqrt{ac}(ax)\sec{\theta}+ac\\&=\sec{\theta}\left((ax)^2\cos{\theta}+2\sqrt{ac}(ax)+ac\cos{\theta}\right)\\&=\cos{\theta}((ax)^2+ac)+2\sqrt{ac}(ax)\\&= \cos{\theta}(ax+\sqrt{ac})^2-2\sqrt{ac}(ax)\cos{\theta}+2\sqrt{ac}(ax)\\&= \left(\cos^2{\frac{\theta}{2}}-\sin^2{\frac{\theta}{2}}\right)(ax+\sqrt{ac})^2-2\sqrt{ac}(ax)\left(1-2\sin^2{\frac{\theta}{2}}\right)+2\sqrt{ac}(ax)\\&=  \cos^2{\frac{\theta}{2}}(ax+\sqrt{ac})^2 -\sin^2{\frac{\theta}{2}}(ax+\sqrt{ac})^2 +4\sqrt{ac}(ax)\sin^2{\frac{\theta}{2}}\\&=   \cos^2{\frac{\theta}{2}}(ax+\sqrt{ac})^2 -\sin^2{\frac{\theta}{2}}\left((ax+\sqrt{ac})^2 -4\sqrt{ac}(ax)\right)\\&= \cos^2{\frac{\theta}{2}}(ax+\sqrt{ac})^2 -\sin^2{\frac{\theta}{2}}(ax-\sqrt{ac})^2\\&= \left(\cos{\frac{\theta}{2}}(ax+\sqrt{ac}) +\sin{\frac{\theta}{2}}(ax-\sqrt{ac})\right) \left(\cos{\frac{\theta}{2}}(ax+\sqrt{ac}) -\sin{\frac{\theta}{2}}(ax-\sqrt{ac})\right)\\&=\left(ax\left(\cos{\frac{\theta}{2}}+\sin{\frac{\theta}{2}}\right)+\sqrt{ac}\left(\cos{\frac{\theta}{2}}-\sin{\frac{\theta}{2}}\right)  \right) \left(ax\left(\cos{\frac{\theta}{2}}-\sin{\frac{\theta}{2}}\right)+\sqrt{ac}\left(\cos{\frac{\theta}{2}}+\sin{\frac{\theta}{2}}\right)  \right).\end{aligned}$$

Now, by setting the factors equal to zero and solving for x, we obtain,

$$\begin{aligned}x_1&=\left(\frac{\sin{\frac{\theta}{2}}+\cos{\frac{\theta}{2}}}{\sin{\frac{\theta}{2}}-\cos{\frac{\theta}{2}}}\right)\sqrt{\frac{c}{a}}\\&= \left(1+\frac{2}{\tan{\frac{\theta}{2}-1}}\right)\sqrt{\frac{c}{a}}. \end{aligned}$$

Similarly we obtain, 

$$\begin{aligned}x_2= \left(1-\frac{2}{\tan{\frac{\theta}{2}+1}}\right)\sqrt{\frac{c}{a}} \end{aligned}.$$

$\square$

The formula appears to be new, at least on the internet. Wikipedia presents a trigonometric method, but it is different from mine. Stuart Simons offers a method that does seem to be related to my approach, but he only provides direct formulas for complex roots. I was able to independently derive Simons' formulas using $\cos{\theta}$ in the substitution instead of $\sec{\theta}$, and this was before coming across the Wikipedia article that references Simons' paper: Simons, Stuart, 'Alternative approach to complex roots of real quadratic equations,' Mathematical Gazette 93, March 2009, 91–92.

More discussion about this formula can be found on the MathSE forum.

RemarkThe half-angle formulas are ubiquitous, and this alternative formula for quadratic equations is another piece of evidence for that.

jueves, 4 de enero de 2024

A generalization of Burlet's theorem to cyclic quadrilaterals

 The Burlet's theorem is a result in Euclidean geometry, which can be formulated as follows:

Theorem 1. Consider triangle $ABC$ with $\angle{BCA}=\gamma$. Let $P$ be the point where the incircle touches side $AB$, and denote the lengths $AP$ and $BP$ as $m$ and $n$, respectively. Then

$$\Delta_0=mn\cot{\frac{\gamma}{2}},\tag{1}$$

A triangle $ABC$ with $AP=m$ and $BP=n$.


where $\Delta_0$ denotes the area of $ABC$. Note that when $\gamma=\frac{\pi}{2}$, then $\Delta_0=mn$.

We adopt unconventional notation to reduce the relation of Theorem 2 into the one referenced in $(1)$. Additionally, we denote $s$ the semiperimeter, applicable to both triangles and cyclic quadrilaterals.

Proof. Let $AB=a$, $BC=b$ and $AC=c$. By Heron's formula, we have

$$\begin{aligned}\Delta_0&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\color{red}{\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{(s-b)(s-c)}}}\\&=(s-b)(s-c)\sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}$$

However, using half-angle formulas for a triangle, we can express $\cot{\frac{\gamma}{2}}$ as $\sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$, where $m=(s-b)$ and $n=(s-c)$. This establishes the relationship mentioned in $(1)$.

$\square$

Theorem 2 (Generalization). Consider a cyclic quadrilateral $ABCD$ with side lengths $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, and $DA=d$. Additionally, let $\angle DAB = \alpha$. In this context, the following relation is valid:

$$\Delta_1=(s-a)(s-d)\cot{\frac{\alpha}{2}},\tag{2}$$

A cyclic quadrilateral $ABCD$.

where $\Delta_1$ denotes the area of $ABCD$.

Proof. Similar to how we proceeded in theorem 1, using the Brahmagupta's formula, we have

$$\begin{aligned}\Delta_1&=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\\&=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\color{red}{\sqrt{\frac{(s-a)(s-d)}{(s-a)(s-d)}}}\\&=(s-a)(s-d)\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{(s-a)(s-d)}}.\end{aligned}$$

Now, invoking the half-angle formulas for cyclic quadrilaterals, we have that $\cot{\frac{\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{(s-a)(s-d)}}$, from which the relation $(2)$ is deduced.

$\square$

Let $\angle{BCD}=\gamma$ and assume that $d=0$. We have that $\alpha=\pi-\gamma$, so substituting in $(2)$, 

When $d=0$, by the alternate segment theorem, $\alpha=\pi-\gamma$.

$$\begin{aligned}\Delta_1&=(s-a)(s-0)\cot{\left(\frac{\pi-\gamma}{2}\right)}\\&=s(s-a)\tan{\frac{\gamma}{2}}\\&=s(s-a)\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}\color{red}{\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{(s-b)(s-c)}}}\\&=(s-b)(s-c)\sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}\\&=(s-b)(s-c)\cot{\frac{\gamma}{2}},\end{aligned}$$

which is Burlet's theorem for a triangle since $m=(s-b)$ and $n=(s-c)$.

RemarkA. Burlet (Dublin) presented this theorem as a problem in the Nouvelles annales de mathématiques, Vol. 15, 1856, p. 290. Consequently, the theorem might have derived its name from him.

martes, 19 de diciembre de 2023

The half-angle formulas are central!

 As the title suggests, the half-angle formulas are central. Even more central than the law of cosines, which is nothing more than the half-angle formulas in disguise. Virtually, every metric relationship characterizing the triangle can be derived from the triangular half-angle formulas. The mind map below can give you an idea of the pivotal role that the half-angle formulas play in relation to the other most important metric relationships in classical geometry. I have also written an essay titled "The Theoretical Importance of Half-Angle Formulas" where you can see the details of the proofs, as well as the new generalizations I have managed to derive from this novel approach.

Click on the image for a better view

Identifying the central theorems of an area is important because it helps streamline the process of understanding it. By knowing the basic principles, you can, with logic and a bit of ingenuity, understand (by proving) the rest of the discipline without having to memorize as much.

martes, 22 de agosto de 2023

“Matemáticos” Dominicanos que Publican en Revistas de Dudosa Reputación

En un escenario matemático que desafía toda lógica y sentido común, un grupo de investigadores dominicanos, respaldados por el Fondo Nacional de Innovación y Desarrollo Científico y Tecnológico (FONDOCYT) ha sido atrapado en un laberinto editorial de dudosa reputación. ¿El lugar de los hechos? La revista Mathematics, publicada por la misteriosa MDPI (Multidisciplinary Digital Publishing Institute), una editorial que ha estado en el ojo del huracán académico en los últimos años. Pero, ¿qué está ocurriendo realmente en el mundo de las publicaciones matemáticas? Prepárense para sumergirse en un cuento de matemáticas y manipulación editorial que pondrá a prueba su fe en la integridad académica.

El escándalo salió a la luz gracias al matemático de la Universidad de California, Los Angeles (UCLA)Igor Pak. Un hombre que ha dedicado su vida a la investigación matemática y cuya carrera está salpicada de logros académicos. ¿Quién mejor para arrojar luz sobre esta sombría situación? Échele un ojo a su artículo The insidious corruption of open access publishers.


¿Qué es MDPI?

MDPI es una editorial de revistas en línea de "acceso abierto" con fines de lucro. ¿Son legítimas o depredadoras? Esa es una buena pregunta. El mundo académico parece estar un poco perplejo al respecto. MDPI publica más de 200 revistas, la mayoría de las cuales tienen títulos de una sola palabra que parecen salidos de un generador aleatorio de temas: DataDiseasesDiversityDNA, etc. Si eres investigador, seguro que estas revistas han estado inundando su bandeja de entrada de correo electrónico, incluso más que los príncipes nigerianos. ¿No ha revisado su carpeta de spam últimamente? MDPI muy probablemente le ha enviado invitaciones para ser editor invitado en campos tan variados como SustainabilitySymmetry, desde Entropy hasta Axioms. Al parecer, solo necesita estar "vivo" y poder "hablar" para ser editor invitado en todas ellas.


¿Qué es Mathematics?

Ahora, centrémonos en la revista Mathematics, que ha estado en el centro de esta tormenta editorial. Fundada en 2013, ha publicado más de 7,600 artículos. Aparentemente, no está revisada por MathSciNet ni ZbMath, lo que normalmente sería una señal de advertencia. Sin embargo, sorprendentemente, su factor de impacto parece indicar que es una de las revistas matemáticas más importantes, rivalizando con nombres establecidos como DukeAmer. Jour. MathJEMS. ¿Cómo puede ser esto? Es una pregunta que aún no tiene respuesta.

Pak revela que Mathematics tiene un consejo editorial que parece más grande que una multitud en un concierto de rock. Con 11 "editores en jefe" y 814 "editores", Mathematics parece estar lista para cubrir todo el espectro matemático, o eso parece. En comparación, Trans. AMS tiene alrededor de 25 miembros en su consejo editorial. ¿Quiénes son estos editores? Pak descubrió que algunos de ellos son matemáticos respetados, pero no mencionan Mathematics en sus currículos. ¿Por qué? ¿Están avergonzados de estar asociados con esta revista? ¿O simplemente no están lo suficientemente avergonzados como para pedir que se elimine su nombre de la lista? Las preguntas sin respuesta abundan.


El Misterio del Atractivo de Mathematics

Entonces, ¿por qué Mathematics es tan popular? Algunos sugieren que es porque aceptan todo tipo de trabajos, incluso aquellos que son, en el mejor de los casos, cuestionables. Mathematics se enorgullece de tomar decisiones rápidas. Al parecer, eligen a los revisores al azar de su base de datos, a menudo sin experiencia en el tema del artículo. Esto, combinado con un plazo de dos semanas para las revisiones, da como resultado una evaluación superficial en el mejor de los casos.

Pak señala que las razones detrás de esta popularidad son claras: Mathematics acepta cualquier cosa. Los autores pueden obtener una decisión en días, en lugar de esperar un año o más en otras revistas de alto prestigio. Esto plantea un dilema para los autores que se sienten presionados por el "publica o perece". Pero, ¿qué hay detrás de esta eficiencia aparente?


La Estrategia de MDPI para Hacer Dinero: Vendiendo "Aire" a Escala Masiva

La estrategia maestra de MDPI parece ser, a simple vista, una fórmula efectiva pero perturbadora: cobrar tarifas de procesamiento de artículos (APC) y hacerlo a gran escala. Mientras que revistas de renombre como Trans. AMS, Ser. B pueden cobrar miles de dólares en APC por artículo, MDPI opta por un enfoque diferente, solicitando alrededor de 1,960 dólares suizos, lo que equivale a aproximadamente 2,000 dólares estadounidenses, por cada artículo. Sin embargo, lo que hace que esta estrategia sea verdaderamente impresionante es la sorprendente cantidad de artículos que publican. En esencia, están vendiendo "aire", un producto que a primera vista puede parecer insustancial, pero que al parecer ha cautivado a un gran número de personas.

La premisa es simple: al cobrar tarifas de APC, MDPI obtiene ingresos significativos de cada artículo que procesan. Lo que hace que esta estrategia sea altamente rentable es la voluminosa cantidad de artículos que publican a lo largo del tiempo. A pesar de que sus tarifas son relativamente bajas en comparación con las de otras revistas de prestigio, su enfoque en la cantidad sobre la calidad les ha permitido generar un flujo constante de ingresos.

Es como si estuvieran vendiendo una ilusión de reconocimiento académico: un lugar donde los investigadores pueden ver sus trabajos publicados rápidamente y, en teoría, obtener ese anhelado "factor de impacto" que tanto importa en el mundo académico. En un entorno donde la presión por publicar es intensa y el tiempo es un recurso valioso, esta oferta puede ser atractiva para muchos.

La pregunta que surge es si este modelo de negocio sacrifica la integridad académica en favor de las ganancias financieras. ¿Está MDPI más interesada en llenar sus arcas que en mantener los estándares rigurosos de revisión por pares y asegurar que solo se publiquen investigaciones de alta calidad? La respuesta a esta pregunta es esquiva y genera controversia, ya que algunos argumentan que MDPI está desdibujando las líneas entre la publicación legítima y la publicación cuestionable en su búsqueda de ingresos.


¿Predadora o No Predadora?

La gran pregunta es si Mathematics y MDPI son depredadores o simplemente astutos comerciantes. Pak argumenta que Mathematics es más parasitaria que depredadora. Los depredadores suelen engañar a los autores para que paguen por publicar en sus revistas de aspecto dudoso. Los autores son víctimas de un engaño, pensando que están obteniendo reconocimiento científico. En contraste, Mathematics parece no engañar a sus autores, quienes aparentemente están felices con el resultado.

Entonces, ¿quiénes son las víctimas aquí? Las bibliotecas universitarias y los organismos de financiamiento están gastando grandes sumas de dinero en productos de calidad inferior. Las investigaciones y la educación podrían beneficiarse mucho más de este dinero en otros lugares. En resumen, Mathematics corrompe todo el proceso de revisión por pares al monetizarlo hasta el punto en que el costo del APC se convierte en la consideración principal en lugar de la contribución matemática real del artículo.


El Futuro de las Revistas Matemáticas

Entonces, ¿qué nos depara el futuro de las revistas matemáticas? La respuesta parece clara según Pak y su sutil ironía: las bibliotecas deben dejar de pagar por el acceso abierto. Los organismos de financiamiento deben prohibir que las subvenciones se utilicen para pagar publicaciones. Los matemáticos deben huir en la dirección opuesta cada vez que alguien mencione el dinero. Simplemente digan no.

El modelo correcto, según Pak, es el modelo de superposición de arXiv, que es económico y accesible. No hay necesidad de que las bibliotecas paguen por la publicación si el artículo ya está disponible de forma gratuita en arXiv. El mensaje es claro: el dinero que las universidades gastan en APC de Mathematics sería mejor invertido en apoyar la investigación y la educación reales.

Si usted es miembro del consejo editorial de Mathematics, Pak tiene un mensaje para usted: renuncie y nunca revele que estuvo allí. Ya obtuvo lo que quería, su artículo se publicó, su nombre está en la portada de alguna edición especial (las imprimen para los autores). Quizás la vergüenza funcione en este caso.


El Caso de Idriss Aberkane y la Conjetura de Collatz

En medio del torbellino editorial que rodea a la revista Mathematics y su peculiar enfoque en la publicación de artículos matemáticos, se encuentra un caso que ha dejado perplejos a matemáticos de todo el mundo. Hablamos del controvertido Idriss Aberkane, un orador público y ensayista francés, cuyas afirmaciones y publicaciones han desencadenado una serie de reacciones, que van desde la admiración hasta la crítica más feroz.

La biografía de Aberkane es un compendio de controversia. Conocido por sus escritos y conferencias sobre desarrollo personal, en 2016 publicó un exitoso ensayo titulado "¡Libera tu mente!". Sin embargo, su carrera se vio ensombrecida por acusaciones de inflar artificialmente su currículum y de hablar sobre ciencias que no estaban dentro de su área de experiencia. Algunos investigadores cuestionaron la precisión científica de sus afirmaciones y publicaciones, lo que le valió la etiqueta de "antivacunas" y "conspirador" debido a sus opiniones sobre la COVID-19 y las vacunas.

Pero lo que ha dejado a la comunidad matemática perpleja es la afirmación de Aberkane de haber resuelto la Conjetura de Collatz. Esta conjetura, que ha desconcertado a matemáticos durante décadas, trata sobre una secuencia numérica aparentemente simple, pero aún no se ha encontrado una prueba definitiva para confirmar su veracidad. Aberkane publicó un artículo titulado Collatz Attractors Are Space-Filling en la revista Mathematics, que afirma haber resuelto este enigma.

Lo que hace que este caso sea aún más intrigante es que Mathematics, la misma revista que ha estado bajo escrutinio por sus prácticas editoriales, publicó el artículo de Aberkane. Esta revista, que ha sido objeto de debate debido a la aparente falta de revisión y los cuestionamientos sobre su integridad, sorprendió a muchos al respaldar la afirmación de Aberkane.

Aberkane no solo afirma haber resuelto la Conjetura de Collatz, sino que también se atreve a compararse con Terence Tao, un renombrado matemático galardonado con la Medalla Fields (equivalente al Nobel de las matemáticas). Según Aberkane, su resultado supera al de Tao. Esta audaz afirmación ha generado escepticismo y críticas de la comunidad matemática, que encuentra difícil aceptar que alguien sin una formación matemática sólida pueda superar a un genio como Tao.

La reacción de la comunidad matemática no se hizo esperar. Expertos en matemáticas, como Fabien Durand, profesor de Matemáticas en la Université de Picardie Jules-Verne y presidente de la Sociedad Matemática Francesa, han analizado las publicaciones de Aberkane y han señalado importantes errores en sus trabajos. Según Durand, la mayoría de las pruebas presentadas por Aberkane están al nivel de un estudiante de secundaria o de primer año de universidad.

El escepticismo y las críticas se han multiplicado, y la pregunta sigue sin respuesta: ¿Aberkane realmente ha resuelto la Conjetura de Collatz o se trata de una afirmación infundada? 

El misterio que rodea a Idriss Aberkane y su aparición en la revista Mathematics es un capítulo adicional en la saga de esta revista, que ha estado en el centro de la controversia editorial. Queda por verse si Aberkane ha logrado lo que tantos matemáticos han intentado durante décadas, o si su afirmación es simplemente una pieza más en el complicado rompecabezas de las publicaciones académicas.


Investigadores Dominicanos: Atrapados en la Telaraña de Mathematics

Pero esta historia no estaría completa sin abordar el papel de los investigadores dominicanos atrapados en esta telaraña editorial. Entre los nombres de los investigadores que han contribuido a esta revista cuestionable se encuentran Pedro A. Solares Hernandez (que incluso cuenta con su propio reportaje en Diario Libre donde se cita el artículo "Divisibility Patterns within Pascal Divisibility Networks" publicado por Mathematics), Juan Hernández y Juan Toribio Milané. Estos académicos dominicanos, a través de sus artículos, han quedado inmersos en una trama editorial llena de interrogantes.

Uno de los artículos que lleva la firma del investigador dominicano Juan Hernández es "Sequentially Ordered Sobolev Inner Product and Laguerre–Sobolev Polynomials". Este trabajo se suma a la lista de investigaciones publicadas en Mathematics, una revista que ha sido objeto de debate en el mundo académico debido a sus prácticas editoriales cuestionables.

Otro artículo, titulado "Differential Properties of Jacobi-Sobolev Polynomials and Electrostatic Interpretation", lleva la firma de Héctor Pijeira-Cabrera, Javier Quintero-Roba y Juan Toribio-Milane. En este caso, vemos a otro investigador dominicano, Juan Toribio-Milane, involucrado en la publicación de un trabajo en Mathematics.

La pregunta que surge es si estos investigadores estaban plenamente conscientes de las controvertidas prácticas editoriales de MDPI y Mathematics al enviar sus investigaciones. ¿O fueron arrastrados por la promesa de una publicación rápida y un factor de impacto aparentemente alto? ¿O simplemente se encontraron en una encrucijada editorial donde las alternativas eran limitadas?

Independientemente de las circunstancias que llevaron a estos investigadores dominicanos a elegir Mathematics como el destino de sus investigaciones, su participación en esta trama editorial plantea cuestionamientos sobre las decisiones que toman los académicos en un entorno académico cada vez más complejo y desafiante.

En última instancia, estos nombres permanecerán en la narrativa de la controvertida relación entre los investigadores y las revistas académicas de reputación dudosa. Sus historias sirven como recordatorio de la importancia de la transparencia y la evaluación crítica en el mundo de la publicación académica.