Un problema propuesto por Ángel Mejía Brito

En el problema se pide encontrar $\angle{AED}$, donde $E$ y $D$ son puntos de tangencias. 

Solución 1. Llamemos a la circunferencia de diámetro $AB$, $\omega$, y al círculo que pasa por $E$ y $D$, $\tau$. Considera la circunferencia de inversión, $\rho$, de radio $\frac{AB}{2}$ y centro en $A$. Denotemos con $X$ e $Y$ los puntos de intersección de $\omega$ y $\rho$. La imagen invertida de $\omega$ es la línea $XY$. La imagen de $\tau$ es otra circunferencia tangente a $AB$, en $D'$ (la imagen de $D$) y a $XY$ en $E'$ (la imagen de $E$). Si llamamos $Z$ al punto donde $XY$ corta a $AB$, al ser $XY$ el eje radical de $\omega$ y $\rho$, las rectas $AB$ y $XY$ son perpendiculares, de donde inferimos que $\triangle{D'ZC'}$ es un triángulo recto isósceles, y por consiguiente $\angle{AD'E'} = 45^\circ$. Como en la inversión los ángulos se preservan, $\angle{AED} = 45^\circ$.

Solución 2. Considera un punto $F$ sobre $\omega$ tal que $AF$ es tangente a $\tau$. Note que $\tau$ es el incírculo mixtilíneo de $\triangle{ABF}$. Si $M$ es el punto medio de $\widehat{AB}$ (que no contiene a $F$), entonces, $E$, $D$ y $M$ están alineados (ver demostración aquí). De lo anterior se deduce que al ser $\angle{AFB}=90^\circ$, por propiedades de ángulos, $\angle{AFM}=\angle{BFM}=\angle{AEM}=\angle{AED}=45^\circ$.

Solución 3. Ver problema 2 aquí para una demostración usando cuaternas armónicas.