The half-angle formulas are central!

 As the title suggests, the half-angle formulas are central. Even more central than the law of cosines, which is nothing more than the half-angle formulas in disguise. Virtually, every metric relationship characterizing the triangle can be derived from the triangular half-angle formulas. The mind map below can give you an idea of the pivotal role that the half-angle formulas play in relation to the other most important metric relationships in classical geometry. I have also written an essay titled "The Theoretical Importance of Half-Angle Formulas" where you can see the details of the proofs, as well as the new generalizations I have managed to derive from this novel approach.

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Identifying the central theorems of an area is important because it helps streamline the process of understanding it. By knowing the basic principles, you can, with logic and a bit of ingenuity, understand (by proving) the rest of the discipline without having to memorize as much.

“Matemáticos” Dominicanos que Publican en Revistas de Dudosa Reputación

En un escenario matemático que desafía toda lógica y sentido común, un grupo de investigadores dominicanos, respaldados por el Fondo Nacional de Innovación y Desarrollo Científico y Tecnológico (FONDOCYT) ha sido atrapado en un laberinto editorial de dudosa reputación. ¿El lugar de los hechos? La revista Mathematics, publicada por la misteriosa MDPI (Multidisciplinary Digital Publishing Institute), una editorial que ha estado en el ojo del huracán académico en los últimos años. Pero, ¿qué está ocurriendo realmente en el mundo de las publicaciones matemáticas? Prepárense para sumergirse en un cuento de matemáticas y manipulación editorial que pondrá a prueba su fe en la integridad académica.

El escándalo salió a la luz gracias al matemático de la Universidad de California, Los Angeles (UCLA), Igor Pak. Un hombre que ha dedicado su vida a la investigación matemática y cuya carrera está salpicada de logros académicos. ¿Quién mejor para arrojar luz sobre esta sombría situación? Échele un ojo a su artículo The insidious corruption of open access publishers.

¿Qué es MDPI?

MDPI es una editorial de revistas en línea de "acceso abierto" con fines de lucro. ¿Son legítimas o depredadoras? Esa es una buena pregunta. El mundo académico parece estar un poco perplejo al respecto. MDPI publica más de 200 revistas, la mayoría de las cuales tienen títulos de una sola palabra que parecen salidos de un generador aleatorio de temas: Data, Diseases, Diversity, DNA, etc. Si eres investigador, seguro que estas revistas han estado inundando su bandeja de entrada de correo electrónico, incluso más que los príncipes nigerianos. ¿No ha revisado su carpeta de spam últimamente? MDPI muy probablemente le ha enviado invitaciones para ser editor invitado en campos tan variados como Sustainability y Symmetry, desde Entropy hasta Axioms. Al parecer, solo necesita estar "vivo" y poder "hablar" para ser editor invitado en todas ellas.

¿Qué es Mathematics?

Ahora, centrémonos en la revista Mathematics, que ha estado en el centro de esta tormenta editorial. Fundada en 2013, ha publicado más de 7,600 artículos. Aparentemente, no está revisada por MathSciNet ni ZbMath, lo que normalmente sería una señal de advertencia. Sin embargo, sorprendentemente, su factor de impacto parece indicar que es una de las revistas matemáticas más importantes, rivalizando con nombres establecidos como Duke, Amer. Jour. Math y JEMS. ¿Cómo puede ser esto? Es una pregunta que aún no tiene respuesta.

Pak revela que Mathematics tiene un consejo editorial que parece más grande que una multitud en un concierto de rock. Con 11 "editores en jefe" y 814 "editores", Mathematics parece estar lista para cubrir todo el espectro matemático, o eso parece. En comparación, Trans. AMS tiene alrededor de 25 miembros en su consejo editorial. ¿Quiénes son estos editores? Pak descubrió que algunos de ellos son matemáticos respetados, pero no mencionan Mathematics en sus currículos. ¿Por qué? ¿Están avergonzados de estar asociados con esta revista? ¿O simplemente no están lo suficientemente avergonzados como para pedir que se elimine su nombre de la lista? Las preguntas sin respuesta abundan.

El Misterio del Atractivo de Mathematics

Entonces, ¿por qué Mathematics es tan popular? Algunos sugieren que es porque aceptan todo tipo de trabajos, incluso aquellos que son, en el mejor de los casos, cuestionables. Mathematics se enorgullece de tomar decisiones rápidas. Al parecer, eligen a los revisores al azar de su base de datos, a menudo sin experiencia en el tema del artículo. Esto, combinado con un plazo de dos semanas para las revisiones, da como resultado una evaluación superficial en el mejor de los casos.

Pak señala que las razones detrás de esta popularidad son claras: Mathematics acepta cualquier cosa. Los autores pueden obtener una decisión en días, en lugar de esperar un año o más en otras revistas de alto prestigio. Esto plantea un dilema para los autores que se sienten presionados por el "publica o perece". Pero, ¿qué hay detrás de esta eficiencia aparente?

La Estrategia de MDPI para Hacer Dinero: Vendiendo "Aire" a Escala Masiva

La estrategia maestra de MDPI parece ser, a simple vista, una fórmula efectiva pero perturbadora: cobrar tarifas de procesamiento de artículos (APC) y hacerlo a gran escala. Mientras que revistas de renombre como Trans. AMS, Ser. B pueden cobrar miles de dólares en APC por artículo, MDPI opta por un enfoque diferente, solicitando alrededor de 1,960 dólares suizos, lo que equivale a aproximadamente 2,000 dólares estadounidenses, por cada artículo. Sin embargo, lo que hace que esta estrategia sea verdaderamente impresionante es la sorprendente cantidad de artículos que publican. En esencia, están vendiendo "aire", un producto que a primera vista puede parecer insustancial, pero que al parecer ha cautivado a un gran número de personas.

La premisa es simple: al cobrar tarifas de APC, MDPI obtiene ingresos significativos de cada artículo que procesan. Lo que hace que esta estrategia sea altamente rentable es la voluminosa cantidad de artículos que publican a lo largo del tiempo. A pesar de que sus tarifas son relativamente bajas en comparación con las de otras revistas de prestigio, su enfoque en la cantidad sobre la calidad les ha permitido generar un flujo constante de ingresos.

Es como si estuvieran vendiendo una ilusión de reconocimiento académico: un lugar donde los investigadores pueden ver sus trabajos publicados rápidamente y, en teoría, obtener ese anhelado "factor de impacto" que tanto importa en el mundo académico. En un entorno donde la presión por publicar es intensa y el tiempo es un recurso valioso, esta oferta puede ser atractiva para muchos.

La pregunta que surge es si este modelo de negocio sacrifica la integridad académica en favor de las ganancias financieras. ¿Está MDPI más interesada en llenar sus arcas que en mantener los estándares rigurosos de revisión por pares y asegurar que solo se publiquen investigaciones de alta calidad? La respuesta a esta pregunta es esquiva y genera controversia, ya que algunos argumentan que MDPI está desdibujando las líneas entre la publicación legítima y la publicación cuestionable en su búsqueda de ingresos.

¿Predadora o No Predadora?

La gran pregunta es si Mathematics y MDPI son depredadores o simplemente astutos comerciantes. Pak argumenta que Mathematics es más parasitaria que depredadora. Los depredadores suelen engañar a los autores para que paguen por publicar en sus revistas de aspecto dudoso. Los autores son víctimas de un engaño, pensando que están obteniendo reconocimiento científico. En contraste, Mathematics parece no engañar a sus autores, quienes aparentemente están felices con el resultado.

Entonces, ¿quiénes son las víctimas aquí? Las bibliotecas universitarias y los organismos de financiamiento están gastando grandes sumas de dinero en productos de calidad inferior. Las investigaciones y la educación podrían beneficiarse mucho más de este dinero en otros lugares. En resumen, Mathematics corrompe todo el proceso de revisión por pares al monetizarlo hasta el punto en que el costo del APC se convierte en la consideración principal en lugar de la contribución matemática real del artículo.

El Futuro de las Revistas Matemáticas

Entonces, ¿qué nos depara el futuro de las revistas matemáticas? La respuesta parece clara según Pak y su sutil ironía: las bibliotecas deben dejar de pagar por el acceso abierto. Los organismos de financiamiento deben prohibir que las subvenciones se utilicen para pagar publicaciones. Los matemáticos deben huir en la dirección opuesta cada vez que alguien mencione el dinero. Simplemente digan no.

El modelo correcto, según Pak, es el modelo de superposición de arXiv, que es económico y accesible. No hay necesidad de que las bibliotecas paguen por la publicación si el artículo ya está disponible de forma gratuita en arXiv. El mensaje es claro: el dinero que las universidades gastan en APC de Mathematics sería mejor invertido en apoyar la investigación y la educación reales.

Si usted es miembro del consejo editorial de Mathematics, Pak tiene un mensaje para usted: renuncie y nunca revele que estuvo allí. Ya obtuvo lo que quería, su artículo se publicó, su nombre está en la portada de alguna edición especial (las imprimen para los autores). Quizás la vergüenza funcione en este caso.

El Caso de Idriss Aberkane y la Conjetura de Collatz

En medio del torbellino editorial que rodea a la revista Mathematics y su peculiar enfoque en la publicación de artículos matemáticos, se encuentra un caso que ha dejado perplejos a matemáticos de todo el mundo. Hablamos del controvertido Idriss Aberkane, un orador público y ensayista francés, cuyas afirmaciones y publicaciones han desencadenado una serie de reacciones, que van desde la admiración hasta la crítica más feroz.

La biografía de Aberkane es un compendio de controversia. Conocido por sus escritos y conferencias sobre desarrollo personal, en 2016 publicó un exitoso ensayo titulado "¡Libera tu mente!". Sin embargo, su carrera se vio ensombrecida por acusaciones de inflar artificialmente su currículum y de hablar sobre ciencias que no estaban dentro de su área de experiencia. Algunos investigadores cuestionaron la precisión científica de sus afirmaciones y publicaciones, lo que le valió la etiqueta de "antivacunas" y "conspirador" debido a sus opiniones sobre la COVID-19 y las vacunas.

Pero lo que ha dejado a la comunidad matemática perpleja es la afirmación de Aberkane de haber resuelto la Conjetura de Collatz. Esta conjetura, que ha desconcertado a matemáticos durante décadas, trata sobre una secuencia numérica aparentemente simple, pero aún no se ha encontrado una prueba definitiva para confirmar su veracidad. Aberkane publicó un artículo titulado Collatz Attractors Are Space-Filling en la revista Mathematics, que afirma haber resuelto este enigma.

Lo que hace que este caso sea aún más intrigante es que Mathematics, la misma revista que ha estado bajo escrutinio por sus prácticas editoriales, publicó el artículo de Aberkane. Esta revista, que ha sido objeto de debate debido a la aparente falta de revisión y los cuestionamientos sobre su integridad, sorprendió a muchos al respaldar la afirmación de Aberkane.

Aberkane no solo afirma haber resuelto la Conjetura de Collatz, sino que también se atreve a compararse con Terence Tao, un renombrado matemático galardonado con la Medalla Fields (equivalente al Nobel de las matemáticas). Según Aberkane, su resultado supera al de Tao. Esta audaz afirmación ha generado escepticismo y críticas de la comunidad matemática, que encuentra difícil aceptar que alguien sin una formación matemática sólida pueda superar a un genio como Tao.

La reacción de la comunidad matemática no se hizo esperar. Expertos en matemáticas, como Fabien Durand, profesor de Matemáticas en la Université de Picardie Jules-Verne y presidente de la Sociedad Matemática Francesa, han analizado las publicaciones de Aberkane y han señalado importantes errores en sus trabajos. Según Durand, la mayoría de las pruebas presentadas por Aberkane están al nivel de un estudiante de secundaria o de primer año de universidad.

El escepticismo y las críticas se han multiplicado, y la pregunta sigue sin respuesta: ¿Aberkane realmente ha resuelto la Conjetura de Collatz o se trata de una afirmación infundada? 

El misterio que rodea a Idriss Aberkane y su aparición en la revista Mathematics es un capítulo adicional en la saga de esta revista, que ha estado en el centro de la controversia editorial. Queda por verse si Aberkane ha logrado lo que tantos matemáticos han intentado durante décadas, o si su afirmación es simplemente una pieza más en el complicado rompecabezas de las publicaciones académicas.

Investigadores Dominicanos: Atrapados en la Telaraña de Mathematics

Pero esta historia no estaría completa sin abordar el papel de los investigadores dominicanos atrapados en esta telaraña editorial. Entre los nombres de los investigadores que han contribuido a esta revista cuestionable se encuentran Pedro A. Solares Hernandez (que incluso cuenta con su propio reportaje en Diario Libre donde se cita el artículo "Divisibility Patterns within Pascal Divisibility Networks" publicado por Mathematics), Juan Hernández y Juan Toribio Milané. Estos académicos dominicanos, a través de sus artículos, han quedado inmersos en una trama editorial llena de interrogantes.

Uno de los artículos que lleva la firma del investigador dominicano Juan Hernández es "Sequentially Ordered Sobolev Inner Product and Laguerre–Sobolev Polynomials". Este trabajo se suma a la lista de investigaciones publicadas en Mathematics, una revista que ha sido objeto de debate en el mundo académico debido a sus prácticas editoriales cuestionables.

Otro artículo, titulado "Differential Properties of Jacobi-Sobolev Polynomials and Electrostatic Interpretation", lleva la firma de Héctor Pijeira-Cabrera, Javier Quintero-Roba y Juan Toribio-Milane. En este caso, vemos a otro investigador dominicano, Juan Toribio-Milane, involucrado en la publicación de un trabajo en Mathematics.

La pregunta que surge es si estos investigadores estaban plenamente conscientes de las controvertidas prácticas editoriales de MDPI y Mathematics al enviar sus investigaciones. ¿O fueron arrastrados por la promesa de una publicación rápida y un factor de impacto aparentemente alto? ¿O simplemente se encontraron en una encrucijada editorial donde las alternativas eran limitadas?

Independientemente de las circunstancias que llevaron a estos investigadores dominicanos a elegir Mathematics como el destino de sus investigaciones, su participación en esta trama editorial plantea cuestionamientos sobre las decisiones que toman los académicos en un entorno académico cada vez más complejo y desafiante.

En última instancia, estos nombres permanecerán en la narrativa de la controvertida relación entre los investigadores y las revistas académicas de reputación dudosa. Sus historias sirven como recordatorio de la importancia de la transparencia y la evaluación crítica en el mundo de la publicación académica.

Solution to Problem 1315 of Gogeometry

 The following problem was proposed by my esteemed friend, Ángel Mejía. However, this is problem 1315 from Gogeometry. Here I give a trigonometric proof.

The figure shows a triangle $ABC$ with the inscribed circle $O$ ($D$, $E$, and $T$ are the tangency points). $OB$ cuts chord $DE$ and arc $DE$ at $M$ and $F$, respectively. $AF$ and $CF$ cut chord $DE$ at $G$ and $N$, respectively. Prove that $DG = MN$.

Proof. Let's denote $\angle{BAC}=\alpha$, $\angle{ABC}=\beta$, $\angle{ACB}=\gamma$, $\angle{AFM}=\angle{AFO}=\delta$, and $\angle{DFA}=\epsilon$. Applying the sine law in triangles $GFM$ and $DFG$, we obtain

$$GM = FG \cdot \sin{\delta},\tag{1}$$

$$DG = \frac{FG \cdot \sin{\epsilon}}{\sin{\frac12\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\beta}{2}\right)}}.\tag{2}$$

Dividing $(1)$ by $(2)$ and then squaring, we get

$$\left(\frac{GM}{DG}\right)^2=\frac{\sin^2{\delta}}{\sin^2{\epsilon}}\cdot{\sin^2{\frac12\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\beta}{2}\right)}}=\frac{\sin^2{\delta}}{\sin^2{\epsilon}}\left(\frac{1-\sin{\frac12\beta}}{2}\right).\tag{3}$$

Now, applying the sine law once more, this time in triangles $AFO$ and $ADF$, we obtain

$$\sin{\delta}=\frac{AO\cdot{\sin{\frac12(\alpha+\beta)}}}{AF},\tag{4}$$

$$\sin{\epsilon}=\frac{AD\cdot{\sin{\frac14(3\pi+\beta})}}{AF}.\tag{5}$$

Dividing $(4)$ by $(5)$ and then squaring, we have

$$\frac{\sin^2{\delta}}{\sin^2{\epsilon}}=\frac{\sec^2{\frac12\alpha}\cos^2{\frac12\gamma}}{\sin^2{\frac14(3\pi+\beta})}=\sec^2{\frac12\alpha}\cos^2{\frac12\gamma}\left(\frac{2}{1-\sin{\frac12\beta}}\right).\tag{6}$$

Substituting $(6)$ in $(3)$ and taking square roots,

$$\frac{GM}{DG}=\frac{\cos{\frac12\gamma}}{\cos{\frac12\alpha}}.$$

Analogously,

$$\frac{MN}{EN}=\frac{\cos{\frac12\alpha}}{\cos{\frac12\gamma}}.$$

This implies $\frac{GM}{DG}=\frac{EN}{MN}$ and, since $DM=ME$, we conclude that $DG=MN$.

$\square$

Another Identity on Triangle Areas Arising from Reflection

In a previous post, we proved an identity about triangle areas arising from reflection. In this occasion, we prove another interesting identity associated with triangle areas.

Theorem. Let $ABC$ be a triangle. Denote $D$, $E$ and $F$ arbitrary points on sides $BC$, $AC$ and $AB$, respectively. Let $A'$ be the reflection of $A$ with respect to $D$. Define $B'$ and $C'$ similarly. Denote $A''$ the reflection of $A'$ with respect to the midpoint of $BC$. Define $B''$ and $C''$ similarly. Then 

$$[A'B'C']-[A''B''C''] = 3[ABC].$$

The brackets $[\, ]$ represent the area of the enclosed figure.

Lemma 1. $[A'B'C]=[ABA''B'']$, $[A'C'B]=[ACA''C'']$ and $[B'C'A]=[BCB''C'']$.

Proof. Observe that the diagonals of $BCB'C'$ and $BCEF$ are in a 2:1 ratio, and the angle between them remains unchanged. Hence, $[BCB'C']=4[BCEF]$. This is easily deduced from the formula for the area of a quadrilateral $K=\frac12pq\sin{\theta}$, where the lengths of the diagonals are $p$ and $q$, and the angle between them is $\theta$.

Also, observe that $AF$ and $BF$ are medians of triangles $\triangle{ACC'}$ and $\triangle{BCC'}$, respectively. It follows that $[ACF]=[AC'F]$ and $[BCF]=[BC'F]$, and then $[ABC]=[ABC']$. Analogously, $[ABC]=[ACB']=[BCA']$. Now, it turns out that

$$[AB'C']=[BCB'C']-3[ABC]=4[BCEF]-3[ABC]=4[ABC]-4[AEF]-3[ABC]=[ABC]-4[AEF].\tag{1}$$

Let $H$ and $I$ be the midpoints of $AC$ and $AB$, respectively. Then

$$[ABC]=4[AHI]=4[AEF]+4[HEFI].\tag{2}$$

From $(1)$ and $(2)$ follows that $[AB'C']=4[HEFI]$. Now, observe that $BC$, $BB''$, and $CC''$ are the homothetic images with a scale factor of 2 of $IH$, $EH$, and $FI$ with respect to $A$, $B'$, and $C'$, respectively. It follows that $BCC''B''$ and $HEFI$ are homothetic with $[BCC''B'']=4[HEFI]$, therefore,

$$[AB'C']=[BCC''B''].$$

$\square$

A similar reasoning must show that $[A'B'C]=[ABB''A'']$, and for the case of $\triangle{A'C'B}$ and $ACA''C''$ where $F$ and $D$ are on opposite sides of the line $GI$, where $G$ is the midpoint of the side $BC$, only a minor adjustment will be required.

$\color{blue}{[A'B'C]=[ABA''B'']}$, $\color{red}{[A'C'B]=[ACA''C'']}$ and $\color{green}{[B'C'A]=[BCB''C'']}$.

Remark. Notice lemma 1 gives us an alternative way to construct a triangle with an area equal to a given quadrilateral, as long as it is not a rectangle or a square.

Back to the main problem

Notice that 

$$[A'B'C']=[A'C'B'C]-[A'B'C]=4[ABC]+[AB'C']+[BA'C']-[A'B'C].$$

But $[AB'C']=[ABC]-4[AEF]$ and similarly $[BA'C']=[ABC]-4[BDF]$ and $[A'B'C]=4[CDE]-[ABC]$, so

$$[A'B'C']= 7[ABC]-4[AEF]-4[BDF]-4[CDE].\tag{3}$$

As $HIFE$ and $BCC''B''$ are inversely homothetic with scale factor $-2$, then so are segments $EF$ and $B''C''$ and similarly for $ED$ and $A''C''$ and $FD$ and $A''C''$, meaning that triangles $\triangle{DEF}$ and $\triangle{A''B''C''}$ are also inversely homothetic with factor $-2$ and then

$$[A''B''C'']=4[DEF]=4[ABC]-4[AEF]-4[BDF]-4[CDE].\tag{4}$$

Substracting $(4)$ from $(3)$ we get 

$$[A'B'C']-[A''B''C'']=3[ABC].$$

$\square$

A curious family of integrals that give rational multiples of $\pi$

 I have noticed experimentally that:

$$\int_0^1 \frac{\color{red}{x}}{x^4+2x^3+2x^2-2x+1} \,dx=\color{blue}{\frac{\pi}{8}},\tag{1}$$

$$\int_0^1 \frac{\color{red}{1-x^2}}{x^4+2x^3+2x^2-2x+1} \, dx=\color{blue}{\frac{\pi}{4}},\tag{2}$$

$$\int_0^1 \frac{\color{red}{1+x-x^2}}{x^4+2x^3+2x^2-2x+1} \, dx =\color{blue}{\frac{3\pi}{8}}.\tag{3}$$

So slight variations in the numerator always seem to produce something like $n\pi$, where $n$ is a rational number.

At MathSE I have asked what the exact relationship is between $n$ and the numerator of the integrand, to which Quanto has responded with a general formula:

$$\int_{0}^{1} \frac{ax^2 +b x + c}{x^4+2x^3+2x^2-2x+1} \, dx=\frac\pi8\color{green}{(c+b-a)}+\frac\pi{3\sqrt3}\color{green}{(a+c)}.\tag{4}$$

However, is it necessary for the denominator to remain fixed? Not really. The following integral is formula $(34)$ in this list of $\pi$ formulas:

$$\int_0^1 \frac{\color{red}{16x-16}}{x^4-2x^3+4x-4}\,dx=\color{blue}{\pi}.\tag{5}$$

Notice that the denominator is different. But again, a slight variation in the numerator and it still produces something like $n\pi$:

$$\int_0^1 \frac{\color{red}{x^2-x-1}}{x^4-2x^3+4x-4}\,dx=\color{blue}{\frac{3\pi}{16}}.\tag{6}$$

More generally, 

$$\int_{0}^{1} \frac{ax^2+bx+c}{x^4-2x^3+4x-4}\,dx=\frac{\pi}{16}\color{green}{(2a-c)}+\frac{\ln{(3-\sqrt8)}}{\sqrt32}\color{green}{(b+c)}+\frac{\ln{(3-\sqrt8)}}{\sqrt8}\color{green}{a}.\tag{7}$$

From $(7)$, we can deduce that the integral will yield rational multiples of $\pi$ when $b$ and $c$ are opposite to each other and $a=0$. However, this formula is still far from being the ultimate generalization since it does not take into account the coefficients of the denominator. The fact that the denominator is not the same in $(4)$ and $(7)$ suggests that a further generalization is possible.

A more intimidating integral

Doing some arithmetic with the integrands, we can obtain more intimidating integrands that still yield $\pi$. The following one comes from adding integrands (2) and (5) with different denominators:

$$\int_{0}^{1} \frac{2(1-x)(x^5-5x^4-10x^3-4x^2+8x-8)}{x^8-2x^6-2x^5+9x^4-2x^3-16x^2+12x-4}=\pi.$$

Addendum. I wonder if it is possible to characterize the integrand $\frac{P(x)}{Q(x)}$ in such a way that by simple inspection we can say $I=n\pi$? Or in other words, what should be the relationship between the coefficients of the numerator and the denominator for the integral to yield $n\pi$?

Sine half-angle substitution

 If you are a student of integral calculus, it is highly likely that you have come across or will come across the famous Weierstrass substitution, which is very useful for converting rational expressions involving trigonometric functions into ordinary rational expressions involving $t$, where $t=\tan{\frac12{x}}$. The general transformation formula is as follows:

$$\int f(\sin{x},\cos{x})\,dx =  \int f\left(\frac{2t}{1+t^2}, \frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\frac{2dt}{1+t^2}.$$

In this note, we introduce another substitution as a companion to the Weierstrass substitution that can transform certain rational expressions of trigonometric functions into simpler ordinary rational expressions than the Weierstrass substitution. For instance, it would be useful when a common linear factor of $\sin{x}$ appears in the numerator or denominator of the integrand. The general transformation formula is given by:

$$\int f(\sin{x},\cos{x})\,dx =  \int f(2\sqrt{s-s^2}, 1-2s)\frac{ds}{\sqrt{s-s^2}}.$$

Here $s=\sin^2{\frac12x}$. 

Derivation

Using the double-angle formulas and the Pythagorean identity, one gets
$$\sin{x}=2\sin{\frac12x}\cos{\frac12x}=2\sin{\frac12x}\sqrt{1-\sin^2{\frac12x}}=2\sqrt{\sin^2{\frac12x}-\sin^4{\frac12x}}=2\sqrt{s-s^2},$$
$$\cos{x}=1-2\sin^2{\frac12x}=1-2s.$$
Finally, since $s=\sin^2{\frac12x}$, differentiation rules imply
$$ds=\sin{\frac12x}\cos{\frac12x}\,dx=\frac{\sin{x}}{2}\,dx,$$
and thus,
$$dx=\frac{ds}{\sqrt{s-s^2}}.$$

Example 1

By applying the sine half-angle substitution and simplifying,

$$\int \frac{\sin{x}}{\sin^2{x}+2\cos{x}}\,dx=\int \frac{1}{1-2s^2}\,ds.$$

Using standard integrals,

$$\int \frac{1}{1-2s^2}\,ds=\frac{\tanh^{-1}{(\sqrt{2}s)}}{\sqrt{2}}+C=\frac{\tanh^{-1}{(\sqrt{2}\sin^2{\frac12x})}}{\sqrt{2}}+C.$$

The advantage of this substitution is evident when comparing it to the solution provided in this integral calculator (which solution, by the way, is equivalent to the one given here) or when using the Weierstrass substitution.

Example 2 

By applying the sine half-angle substitution,

$$\int \frac{1}{\sin^3{x}}\,dx=\frac18\int \frac{1}{(s-s^2)^2}\,ds.$$

Using partial fraction decomposition, 

$$\frac18\int \frac{1}{(s-s^2)^2}\,ds=\frac18\int \left(\frac{1}{s}+\frac{1}{s^2}-\frac{2}{s-1}+\frac{1}{(s-1)^2}\right)\,ds=\frac14\ln{\left|\frac{s}{1-s}\right|}+\frac18\left(\frac{1}{1-s}-\frac{1}{s}\right)+C.$$

Substituting $s$ by $\sin^2{\frac12x}$, we have

$$\frac18\int \frac{1}{(s-s^2)^2}\,ds=\frac14\ln{\left|\tan^2{\frac12x}\right|}+\frac18\left(\frac{1}{\cos^2{\frac12x}}-\frac{1}{\sin^2{\frac12x}}\right)+C=\frac12\left(\ln{|\tan{\frac12x}|}-\frac{\cos{x}}{\sin^2{x}}\right)+C.$$

A solution using integration by parts is given at Integrals For You. 

A Generalization of the Law of Sines

 The following is an extension of the law of sines for cyclic quadrilaterals that comes to accompany the generalization of Mollweide's formula (rather Newton's) and the generalization of the law of tangent.

Generalization. Consider a cyclic quadrilateral, $ABCD$, with side lengths $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, and $DA=d$. Let $\angle{DAB}=\alpha$, $\angle{ABD}=\beta$, $\angle{BCD}=\gamma$, and $\angle{CDA}=\delta$. Then the following identity holds

$$\frac{ab+cd}{\sin{\alpha}}=\frac{ad+bc}{\sin{\beta}}=\frac{ab+cd}{\sin{\gamma}}=\frac{ad+bc}{\sin{\delta}}.$$

At first, I was reluctant to publish this result because the proof is very straightforward (hence, I leave it as an exercise to the reader). However, I have shared it on my social media platforms (see here, here and here) and the audience's response has been more favorable than my generalizations of Mollweide's formula and the law of tangents combined.

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Generalizing Lami's theorem

A new proof of angle sum identity for the sine

Several interesting proofs of angle sum identity are given on MathSE. In this note, I will provide another proof that is possible because, although traditionally presented in textbooks as a consequence of the angle sum identity $\sin{(x+y)}$, the double-angle formula for the sine, $\sin{(2x)}=2\sin{(x)}\cos{(x)}$, can be derived independently of it (see the wonderful proof without words of "Start wearing purple"). Then, as Blue has pointed out, the fact that supplementary angles have the same sine is an easy consequence of the double-angle formula for the sine.

The following proof is valid for $0\le\alpha\le\pi$, $0\le\beta\le\dfrac{\pi}{2}$, $0\le\alpha+\beta\le\pi$.

Theorem.  The sum identity for sine states that

$$\sin{(\alpha+\beta)}=\sin{(\alpha)}\cos{(\beta)}+\cos{(\alpha)}\sin{(\beta)}.\tag{1}$$

Proof. Suppose $\triangle{ABC}$ is a triangle with sides $\overline{BC}=a$, $\overline{AC}=b$ and $\overline{AB}=c$. Let $\angle{BAC}=\alpha$, $\angle{CBA}=\beta$ and $\angle{ACB}=\gamma$. Recalling that the area of a triangle can be expressed as $\Delta=\frac12bc\sin{(\alpha)}$ and substituting from the cosine rule on the right-hand side of $(1)$, we have  

\[\begin{aligned} \sin{(\alpha)}\cos{(\beta)}+\cos{(\alpha)}\sin{(\beta)} &= \left(\frac{2\Delta}{bc}\right)\cos{(\beta)}+\left(\frac{2\Delta}{ac}\right)\cos{(\alpha)}\\&=\frac{2\Delta}{c}\left(\frac{\cos{(\beta)}}{b}+\frac{\cos{(\alpha)}}{a}\right)\\ &=\frac{2\Delta}{c}\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2abc}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2abc}\right)\\&=\frac{2\Delta}{ab}\\&=\sin{(\gamma)}\\&=\sin{(\pi-(\alpha+\beta))}\\&=\sin{2\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}\\&=2\color{red}{\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}}\color{blue}{\cos{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}}\\&=2\color{red}{\cos{\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}}\color{blue}{\sin{\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}}\\&= \sin{\left(\alpha+\beta\right)}.\end{aligned}\]

$\square$

Breve discurso ante una multitud de estudiantes: el enfoque de medio ángulo (EMA)

Hace dos semanas, recibí una invitación para dar un breve discurso a estudiantes de secundaria acerca de mis más recientes descubrimientos en geometría plana. A continuación, les comparto lo que dije:

«Hola, yo soy Emmanuel y he venido literalmente a presumir, ¿qué les parece? Pero antes de empezar quiero hacerles la siguiente pregunta: ¿saben ustedes qué es el informe PISA? Pues es un estudio llevado a cabo a nivel mundial que mide el rendimiento académico de los alumnos de 15 años en matemáticas, ciencia y lectura comprensiva. Si usted quiere encontrar a República Dominicana en la larga lista de países que participan en este estudio, usted solo debe dirigirse al final de la lista, ¡qué mal! Aunque cuando cuento esto a mis estudiantes muchos se echan a reír, es una situación para llorar. ¡Esto es peor que la barrida que nos dieron en el Clásico Mundial de Baseball!

Pero…a pesar de estos resultados tan alarmantes, aunque usted no lo crea, en República Dominicana se ha descubierto un nuevo enfoque (al que yo llamo EMA) que me ha permitido generalizar una fórmula de más de 900 años: la ley de la tangente. Lo que quería decir es que luego de casi un año de espera, desempolvando libros y preguntando a matemáticos de todas partes del mundo, recientemente se me informó que mi generalización será publicada en la prestigiosa revista americana Mathematics Magazine. Pero la cosa no se queda ahí, este nuevo enfoque me ha permitido también generalizar las fórmulas de medio ángulo, la identidad pitagórica, la ley de senos (¡me honra que el gran John Baez haya compartido mi generalización!), el teorema de Lamy y la fórmula de Newton, además de poder derivar una plétora de fórmulas y teoremas bien conocidos en geometría plana.

Pero, ¿qué es una generalización? Una generalización es, en palabras llanas, ampliar el alcance de un teorema. Grandes matemáticos tienen sus propias generalizaciones. ¿Qué creen ustedes que es el binomio de Newton o la famosa fórmula de Euler? ¡Generalizaciones! Por cierto, no me pregunten las horas que pasé desarrollando todo esto.

Para finalizar quiero citar al Dr. James Cook, de la Universidad de Alabama, quien escribió lo siguiente sobre mi enfoque:

Creo que has presentado un caso convincente de que estas fórmulas son bastante básicas. Por supuesto, sospecho que podría derivarse casi todo partiendo de la ley de los cosenos. ¿Qué es la ley de cosenos sino el corazón del producto escalar? Y, ¿qué es el producto escalar? Es la encapsulación algebraica del ángulo. Como mínimo, esto debería aparecer como problemas o una sección de tema adicional en los textos de trigonometría. Parece que esto sería excelente para un curso de honor de escuela de verano para dotados en matemáticas. El hecho de que no se enseñe podría aprovecharse para permitir que los estudiantes lo descubran. »

The Half-Angle Formulas: A Powerful Tool for Trigonometry Students

 Let me tell you about an exciting discovery I made while exploring the theoretical importance of half-angle formulas in trigonometry. These formulas, often overlooked and underappreciated in comparison to the more well-known laws of sines, cosines, and tangents, have a wealth of untapped potential waiting to be discovered.

The standard half-angle formulas

I'm not talking about the standard version of the half-angle formulas that appear in most introductory trigonometry textbooks. No, I'm referring to a version that relates the sides of a triangle, the perimeter, and its angles. These formulas have been largely ignored by the mathematical community, with even the almighty Wikipedia lacking an article on them.

The half-angle formulas for a triangle

My journey began when I stumbled upon (1) while attempting to prove the law of cosines by contradiction. I later discovered that this formula was already known, but that didn't stop me from exploring its potential. I went on to generalize the formula and discovered (2), which applies to cyclic quadrilaterals. When I found out that (2) was also already known, I refused to give up and continued to push the limits of these formulas.

The half-angle formulas for a cyclic quadrilateral

What I discovered next was truly mind-blowing. I managed to generalize (2) even further to (3), which applies to general quadrilaterals. Surprisingly, (3) also generalizes the Pythagorean trigonometric identity! These formulas not only provide a new framework for the Heron-Brahmagupta-Bretschneider development (see Two Identities and their Consequences, pp. 5), but they also have the potential to derive a plethora of other formulas and theorems, including the law of cosines, the law of sines, the law of tangents, and Stewart's theorem.

The half-angle formulas for a general quadrilateral

And it doesn't stop there. Using these half-angle formulas, I also managed to derive a generalization of Mollweide's formula and a generalization of the law of tangents. The possibilities are endless, and I'm only scratching the surface of what these formulas can do.

But what excites me the most about these formulas is their potential to revolutionize the way we teach trigonometry to high school students. By introducing the half-angle formulas, we can help students better understand the development of the formulas that derive from them. This is where the half-angle formulas truly shine and can make a significant impact on math education.

In conclusion, the theoretical importance of the half-angle formulas cannot be overstated. They have the potential to unlock a whole new world of mathematical discoveries and have already proven to be a powerful tool for deriving a wide range of formulas and theorems. And with the right approach, they can also be a game-changer for teaching trigonometry to the next generation of students. The possibilities are truly endless, and I can't wait to see what else these formulas have in store for us.

See also The theoretical importance of the half-angle formulas.