Collinearity associated with an ellipse tangent to a circle

Consider an ellipse with foci $A$ and $B$. Let $C$ be the center of a circle tangent to the ellipse at $T$. From $A$, draw two tangents lines to the circle and let $A_1$, $A_2$ be the points where these tangents lines meet the ellipse. Similarly, define $B_1$ and $B_2$. Let $O$ be the intersection of $AA_1$ and $BB_1$. Let $P$ be the intersection of $AA_2$ and $BB_2$. Let $Q$ be the intersection of $AA_1$ and $BB_2$.

Prove that $O$, $P$ and $Q$ are collinear.

IMO 1985/1

Una circunferencia tiene centro en el lado $AB$ de un cuadrilátero cíclico $ABCD$. Los otros tres lados son tangentes a la circunferencia. 

Demuestre que $AD + BC = AB$.

Demostración. 

Llamemos $E$, $F$ y $G$ a los puntos donde la circunferencia con centro, O, en $AB$, toca los lados $AD$, $BC$ y $CD$, respectivamente. Denotemos con r el radio de esta circunferencia.

Como los ángulos $\angle{OFC}$ y $\angle{OGC}$ son suplementarios, el cuadrilátero $CFGO$ es cíclico. Análogamente, el cuadrilátero $DEGO$ es cíclico. Como $ABCD$ también es cíclico, tenemos que los ángulos $\angle{ABC}$ y $\angle{ADC}$ son suplementarios. Pero $\angle{ADC}=\angle{EDG}$, y $\angle{EDG}$ es suplementario con $\angle{EOG}$. Concluimos, entonces, que $\angle{ABC}=\angle{EOG}=\alpha$. Por un razonamiento análogo, $\angle{BAD} =\angle{FOG}=\beta$.

Al ser $\triangle{AEO}$ y $\triangle{BFO}$ triángulos rectángulos, tenemos, por la ley de senos, que

$OB=\frac{r}{sen\alpha}$

$OA=\frac{r}{sen\beta}$

$AB=OA+OB=r(csc\alpha + csc\beta)$

$BF=\frac{rsen(90^\circ-\alpha)}{sen\alpha}=rcot\alpha$

$CF =\frac{rsen(\beta/2)}{sen(90^\circ-\beta/2)}=rtg(\beta/2)$

$BF + CF = rcot\alpha + rtg(\beta/2)$

Análogamente, 

$AE=rcot\beta$

$DE=rtg(\alpha/2)$

$BC + AD = BF + CF + AE + DE = rcot\alpha+rtg(\beta/2)+rcot\beta+rtg(\alpha/2)$

$Tg(\alpha/2)=csc\alpha-cot\alpha$

$Tg(\beta/2)=csc\beta-cot\beta$

$BC+AD=BF+CF+AE+DE=rcot\alpha+rcsc\beta-rcot\beta+rcot\beta+rcsc\alpha-rcot\alpha=r(csc\alpha+csc\beta)$

Por lo tanto, $BC+AD=AB$, como se quería demostrar.

Concyclic Points of Two Ellipses with Orthogonal Axes

Given two ellipses with orthogonal axes.

If there are four points of intersection, all four are concyclic.

Click here for proofs by Alexander Bogomolny.

Remark. A more general statement is true: given two conics with orthogonal axes. If there are four points of intersection, all four are concyclic.


Oai Thanh Đào pointed out that the statement holds also if the axes are parallel.