sábado, 29 de febrero de 2020

Segmentos congruentes en una configuración de Vecten

Considera un triángulo $ABC$. Sobre los lados $BC$ y $AB$, construye externamente los cuadrados $BCIH$ y $ABGF$, respectivamente. Sobre el lado $AC$, construye internamente el cuadrado $ACDE$ (ver figura debajo). Demuestre que $EG = DH$.




Demostración. Evidentemente, $\triangle{BCG}\cong{\triangle{ABH}}$, por lo que $CG=AH$. Si $P$ es la intersección de $CG$ y $AH$, note que 

$$\angle{APC}=180^\circ-\angle{CAP}-\angle{ACP}$$
$$\angle{APC}=180^\circ-(\angle{CAB}-\angle{BAH})-(\angle{ACB}-\angle{BCG}).$$

Pero $\angle{BAH}+\angle{BCG}=90^\circ-\angle{ABC}$. De lo anterior resulta que 

$$\angle{APC}=180^\circ-\angle{CAB}+\angle{BAH}-\angle{ACB}+\angle{BCG}$$
$$\angle{APC}=180^\circ-\angle{CAB}-\angle{ACB}+90^\circ-\angle{ABC}=90^\circ.$$

Note además que $\angle{ACG}=90^\circ-\angle{CAP}=\angle{EAH}$, de donde inferimos que $\triangle{ACG}\cong{\triangle{AEH}}$, por $LAL$. Consecuentemente, 

$$\angle{DEH}=\angle{AEH}-90^\circ=\angle{CAG}-90^\circ=\angle{EAG}.$$ 

Pero $AG=EH$, por lo que $\triangle{EAG}\cong{\triangle{DEH}}$ (también por $LAL$) y esto completa la demostración.

Ver fuente del problema aquí.

domingo, 16 de febrero de 2020

Extracto de la película "Wittgenstein"




Había una vez un joven que soñaba con reducir el mundo a la lógica pura. Como era un joven inteligente, lo consiguió. Cuando hubo terminado, se quedó admirando su trabajo. Era grandioso. Un mundo limpio de imperfecciones e indeterminaciones. Una infinita extensión de hielo brillante hasta el horizonte. Entonces el joven decidió explorar el mundo que había creado. Dio un paso adelante y se cayó de espaldas. Había olvidado la fricción. El hielo era liso, llano y sin manchas, pero no se podía andar sobre él. El joven listo se sentó y lloró lágrimas amargas. Pero con el tiempo se convirtió en un anciano sabio, y comprendió que la irregularidad y la ambigüedad no son imperfecciones, sino que son lo que hace que el mundo gire. Quería correr y bailar. Y todas las palabras y cosas desparramadas por el suelo eran ambiguas y estaban abolladas y deslustradas. El sabio anciano entendió que las cosas eran así. Pero algo en él seguía echando de menos el hielo, donde todo era radiante, absoluto, implacable. Aunque le acabó gustando la idea del terreno irregular, no podía vivir allí. Así que se vio abandonado en una isla entre la tierra y el hielo...ajeno a ambos. Y ésta era la causa de sus penas.

Problema 6 de la Olimpiada Regional del Distrito Nacional, R.D.

En el cuadrilátero convexo $ABCD$, los lados $AB$, $BC$ y $CD$ son congruentes. Hallar  $x$. 



Solución. Llamemos $F$ a la intersección de la paralela a $AD$ que pasa por $C$ y la paralela a $CD$ que pasa por $A$. Por propiedades de ángulos entre paralelas, tenemos que $\angle{BAF}=2x$ y $\angle{BCF}=x$. También, al ser $ADCF$ un paralelogramo, $AF=CD=AB$, de donde resulta que el triángulo $\triangle{ABF}$ es isósceles. Denotemos por $A'$ la proyección ortogonal de $A$ sobre $BF$. Del mismo modo, denotemos por $B'$ la proyección ortogonal de $B$ sobre $CF$. Claramente, $\triangle{AA'B}\cong{\triangle{BB'C}}$. Note que el seno de $\angle{BFB'}=\frac{1}{2}$, por lo que $\angle{BFB'}=30^\circ$. De este modo $\angle{AFC}=\angle{AFB}+\angle{BFB'}=120^\circ-x$.

Si trazamos la diagonal $AC$, entonces, $\angle{BAC}=\angle{BCA}=\frac{11x-7x}{2}=2x$. Finalmente, la suma de los ángulos internos de $\triangle{ACF}$ es

$$4x+3x+120^\circ-x=180^\circ.$$

Resolviendo para $x$ obtenemos que $x=10^\circ$.



domingo, 9 de febrero de 2020

Fragmento del cuento "Los Crímenes de la Rue Morgue" de E. Poe



“Las condiciones mentales que suelen considerarse como analíticas son, en sí mismas, poco susceptibles de análisis. Las consideramos tan sólo por sus efectos. De ellas sabemos, entre otras cosas, que son siempre, para el que las posee, cuando se poseen en grado extraordinario, una fuente de vivísimos goces. Del mismo modo que el hombre fuerte disfruta con su habilidad física, deleitándose en ciertos ejercicios que ponen sus músculos en acción, el analista goza con esa actividad intelectual que se ejerce en el hecho de desentrañar. Consigue satisfacción hasta de las más triviales ocupaciones que ponen en juego su talento. Se desvive por los enigmas, acertijos y jeroglíficos, y en cada una de las soluciones muestra un sentido de agudeza que parece al vulgo una penetración sobrenatural. Los resultados, obtenidos por un solo espíritu y la esencia del método, adquieren realmente la apariencia total de una intuición.

Esta facultad de resolución está, posiblemente, muy fortalecida por los estudios matemáticos, y especialmente por esa importantísima rama de ellos que, impropiamente y sólo teniendo en cuenta sus operaciones previas, ha sido llamada par excellence análisis. Y, no obstante, calcular no es intrínsecamente analizar. Un jugador de ajedrez, por ejemplo, lleva a cabo lo uno sin esforzarse en lo otro. De esto se deduce que el juego de ajedrez, en sus efectos sobre el carácter mental, no está lo suficientemente comprendido.

Mi intención ahora no es escribir un tratado, sino que prologo únicamente un relato muy singular, con observaciones efectuadas a la ligera. Aprovecharé, por tanto, esta ocasión para asegurar que las facultades más importantes de la inteligencia reflexiva trabajan con mayor decisión y provecho en el sencillo juego de damas que en toda esa frivolidad primorosa del ajedrez. En este último, donde las piezas tienen distintos y extraños movimientos, con diversos y variables valores, lo que tan sólo es complicado, se toma equivocadamente —error muy común— por profundo. La atención, aquí, es poderosamente puesta en juego. Si flaquea un solo instante, se comete un descuido, cuyos resultados implican pérdida o derrota. Como quiera que los movimientos posibles no son solamente variados, sino complicados, las posibilidades de estos descuidos se multiplican; de cada diez casos, nueve triunfa el jugador más capaz de concentración y no el más perspicaz. En el juego de damas, por el contrario, donde los movimientos son únicos y de muy poca variación, las posibilidades de descuido son menores, y como la atención queda relativamente distraída, las ventajas que consigue cada una de las partes se logran por una perspicacia superior.

Para ser menos abstractos supongamos, por ejemplo, un juego de damas cuyas piezas se han reducido a cuatro reinas y donde no es posible el descuido. Evidentemente, en este caso la victoria —hallándose los jugadores en igualdad de condiciones— puede decidirse en virtud de un movimiento buscado resultante de un determinado esfuerzo de la inteligencia. Privado de los recursos ordinarios, el analista consigue penetrar en el espíritu de su contrario; por tanto, se identifica con él, y a menudo descubre de una ojeada el único medio —a veces, en realidad, absurdamente sencillo— que puede inducirle a error o llevarlo a un cálculo equivocado.

Desde hace largo tiempo se conoce el whist por su influencia sobre la facultad calculadora, y hombres de gran inteligencia han encontrado en él un goce aparentemente inexplicable, mientras abandonaban el ajedrez como una frivolidad. No hay duda de que no existe ningún juego semejante que haga trabajar tanto la facultad analítica. El mejor jugador de ajedrez del mundo sólo puede ser poco más que el mejor jugador de ajedrez; pero la habilidad en el whist implica ya capacidad para el triunfo en todas las demás importantes empresas en las que la inteligencia se enfrenta con la inteligencia. Cuando digo habilidad, me refiero a esa perfección en el juego que lleva consigo una comprensión de todas las fuentes de donde se deriva una legítima ventaja. Estas fuentes no sólo son diversas, sino también multiformes. Se hallan frecuentemente en lo más recóndito del pensamiento, y son por entero inaccesibles para las inteligencias ordinarias. Observar atentamente es recordar distintamente. Y desde este punto de vista, el jugador de ajedrez capaz de intensa concentración jugará muy bien al whist, puesto que las reglas de Hoyle, basadas en el puro mecanismo del juego, son suficientes y, por lo general, comprensibles. Por esto, el poseer una buena memoria y jugar de acuerdo con «el libro» son, por lo común, puntos considerados como la suma total del jugar excelentemente. Pero en los casos que se hallan fuera de los límites de la pura regla es donde se evidencia el talento del analista. En silencio, realiza una porción de observaciones y deducciones. Posiblemente, sus compañeros harán otro tanto, y la diferencia en la extensión de la información obtenido no se basará tanto en la validez de la deducción como en la calidad de la observación. Lo importante es saber lo que debe ser observado. Nuestro jugador no se reduce únicamente al juego, y aunque éste sea el objeto de su atención, habrá de prescindir de determinadas deducciones originadas al considerar objetos extraños al juego. Examina la fisonomía de su compañero, y la compara cuidadosamente con la de cada uno de sus contrarios. Se fija en el modo de distribuir las cartas a cada mano, con frecuencia calculando triunfo por triunfo y tanto por tanto observando las miradas de los jugadores a su juego. Se da cuenta de cada una de las variaciones de los rostros a medida que avanza el juego, recogiendo gran número de ideas por las diferencias que observa en las distintas expresiones de seguridad, sorpresa, triunfo o desagrado. En la manera de recoger una baza juzga si la misma persona podrá hacer la que sigue. Reconoce la carta jugada en el ademán con que se deja sobre la mesa. Una palabra casual o involuntaria; la forma accidental con que cae o se vuelve una carta, con la ansiedad o la indiferencia que acompañan la acción de evitar que sea vista; la cuenta de las bazas y el orden de su colocación; la perplejidad, la duda, el entusiasmo o el temor, todo ello facilita a su aparentemente intuitiva percepción indicaciones del verdadero estado de cosas. Cuando se han dado las dos o tres primeras vueltas, conoce completamente los juegos de cada uno, y desde aquel momento echa sus cartas con tal absoluto dominio de propósitos como si el resto de los jugadores las tuvieran vueltas hacia él.

El poder analítico no debe confundirse con el simple ingenio, porque mientras el analista es necesariamente ingenioso, el hombre ingenioso está con frecuencia notablemente incapacitado para el análisis. La facultad constructiva o de combinación con que por lo general se manifiesta el ingenio, y a la que los frenólogos, equivocadamente, a mi parecer, asignan un órgano aparte, suponiendo que se trata de una facultad primordial, se ha visto tan a menudo en individuos cuya inteligencia bordeaba, por otra parte, la idiotez, que ha atraído la atención general de los escritores de temas morales. Entre el ingenio y la aptitud analítica hay una diferencia mucho mayor, en efecto, que entre la fantasía y la imaginación, aunque de un carácter rigurosamente análogo. En realidad, se observará fácilmente que el hombre ingenioso es siempre fantástico, mientras que el verdadero imaginativo nunca deja de ser analítico.

El relato que sigue a continuación podrá servir en cierto modo al lector para ilustrarle en una interpretación de las proposiciones que acabo de anticipar. (...) ”