A new proof of angle sum identity for the sine

Several interesting proofs of angle sum identity are given on MathSE. In this note, I will provide another proof that is possible because, although traditionally presented in textbooks as a consequence of the angle sum identity $\sin{(x+y)}$, the double-angle formula for the sine, $\sin{(2x)}=2\sin{(x)}\cos{(x)}$, can be derived independently of it (see the wonderful proof without words of "Start wearing purple"). Then, as Blue has pointed out, the fact that supplementary angles have the same sine is an easy consequence of the double-angle formula for the sine.

The following proof is valid for $0\le\alpha\le\pi$, $0\le\beta\le\dfrac{\pi}{2}$, $0\le\alpha+\beta\le\pi$.

Theorem.  The sum identity for sine states that

$$\sin{(\alpha+\beta)}=\sin{(\alpha)}\cos{(\beta)}+\cos{(\alpha)}\sin{(\beta)}.\tag{1}$$

Proof. Suppose $\triangle{ABC}$ is a triangle with sides $\overline{BC}=a$, $\overline{AC}=b$ and $\overline{AB}=c$. Let $\angle{BAC}=\alpha$, $\angle{CBA}=\beta$ and $\angle{ACB}=\gamma$. Recalling that the area of a triangle can be expressed as $\Delta=\frac12bc\sin{(\alpha)}$ and substituting from the cosine rule on the right-hand side of $(1)$, we have  

\[\begin{aligned} \sin{(\alpha)}\cos{(\beta)}+\cos{(\alpha)}\sin{(\beta)} &= \left(\frac{2\Delta}{bc}\right)\cos{(\beta)}+\left(\frac{2\Delta}{ac}\right)\cos{(\alpha)}\\&=\frac{2\Delta}{c}\left(\frac{\cos{(\beta)}}{b}+\frac{\cos{(\alpha)}}{a}\right)\\ &=\frac{2\Delta}{c}\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2abc}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2abc}\right)\\&=\frac{2\Delta}{ab}\\&=\sin{(\gamma)}\\&=\sin{(\pi-(\alpha+\beta))}\\&=\sin{2\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}\\&=2\color{red}{\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}}\color{blue}{\cos{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}}\\&=2\color{red}{\cos{\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}}\color{blue}{\sin{\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}}\\&= \sin{\left(\alpha+\beta\right)}.\end{aligned}\]

$\square$

Breve discurso ante una multitud de estudiantes: el enfoque de medio ángulo (EMA)

Hace dos semanas, recibí una invitación para dar un breve discurso a estudiantes de secundaria acerca de mis más recientes descubrimientos en geometría plana. A continuación, les comparto lo que dije:

«Hola, yo soy Emmanuel y he venido literalmente a presumir, ¿qué les parece? Pero antes de empezar quiero hacerles la siguiente pregunta: ¿saben ustedes qué es el informe PISA? Pues es un estudio llevado a cabo a nivel mundial que mide el rendimiento académico de los alumnos de 15 años en matemáticas, ciencia y lectura comprensiva. Si usted quiere encontrar a República Dominicana en la larga lista de países que participan en este estudio, usted solo debe dirigirse al final de la lista, ¡qué mal! Aunque cuando cuento esto a mis estudiantes muchos se echan a reír, es una situación para llorar. ¡Esto es peor que la barrida que nos dieron en el Clásico Mundial de Baseball!

Pero…a pesar de estos resultados tan alarmantes, aunque usted no lo crea, en República Dominicana se ha descubierto un nuevo enfoque (al que yo llamo EMA) que me ha permitido generalizar una fórmula de más de 900 años: la ley de la tangente. Lo que quería decir es que luego de casi un año de espera, desempolvando libros y preguntando a matemáticos de todas partes del mundo, recientemente se me informó que mi generalización será publicada en la prestigiosa revista americana Mathematics Magazine. Pero la cosa no se queda ahí, este nuevo enfoque me ha permitido también generalizar las fórmulas de medio ángulo, la identidad pitagórica, la ley de senos (¡me honra que el gran John Baez haya compartido mi generalización!), el teorema de Lamy y la fórmula de Newton, además de poder derivar una plétora de fórmulas y teoremas bien conocidos en geometría plana.

Pero, ¿qué es una generalización? Una generalización es, en palabras llanas, ampliar el alcance de un teorema. Grandes matemáticos tienen sus propias generalizaciones. ¿Qué creen ustedes que es el binomio de Newton o la famosa fórmula de Euler? ¡Generalizaciones! Por cierto, no me pregunten las horas que pasé desarrollando todo esto.

Para finalizar quiero citar al Dr. James Cook, de la Universidad de Alabama, quien escribió lo siguiente sobre mi enfoque:

Creo que has presentado un caso convincente de que estas fórmulas son bastante básicas. Por supuesto, sospecho que podría derivarse casi todo partiendo de la ley de los cosenos. ¿Qué es la ley de cosenos sino el corazón del producto escalar? Y, ¿qué es el producto escalar? Es la encapsulación algebraica del ángulo. Como mínimo, esto debería aparecer como problemas o una sección de tema adicional en los textos de trigonometría. Parece que esto sería excelente para un curso de honor de escuela de verano para dotados en matemáticas. El hecho de que no se enseñe podría aprovecharse para permitir que los estudiantes lo descubran. »