Uno de mis estudiantes me desafió a resolver la integral que aparece en un meme que se ha hecho viral en las redes sociales. Me refiero a este:
Omitiré los límites de la integral de momento. Note que la integral puede ser reescrita de la siguiente manera:
$$\int\frac{3x^3-x^2+2x-4}{\sqrt{x^2-3x+2}}dx=\int\frac{(x-1)(3x^2+2x+4)}{\sqrt{(x-1)(x-2)}}dx=\int\frac{\sqrt{x-1}(3x^2+2x+4)}{\sqrt{x-2}}dx$$
Si sustituimos $\sqrt{x-1}$ por $u$, entonces, $dx=2udu$ y $x=u^2+1$. Reescribiendo la integral en términos de $u$ y simplificando,
$$\int\frac{\sqrt{x-1}(3x^2+2x+4)}{\sqrt{x-2}}dx=6\int\frac{u^6}{\sqrt{u^2-1}}du+16\int\frac{u^4}{\sqrt{u^2-1}}du+18\int\frac{u^2}{\sqrt{u^2-1}}du$$
Por sustitución trigonométrica, $u=\sec{\theta}$, $du=\sec{\theta}\tan{\theta}d\theta$ y $\tan{\theta}=\sqrt{u^2-1}$. Reescribiendo nuevamente,
$$6\int\frac{u^6}{\sqrt{u^2-1}}du+16\int\frac{u^4}{\sqrt{u^2-1}}du+18\int\frac{u^2}{\sqrt{u^2-1}}du$$
$$=6\int\sec^7{\theta}d\theta+16\int\sec^5{\theta}d\theta+18\int\sec^3{\theta}d\theta$$
Haciendo uso de la Fórmula de Reducción de la Secante donde $n\neq{1}$,
$$\int\sec^n{\theta}d\theta=\frac{\sec^{n-2}{\theta}\tan{\theta}}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\sec^{n-2}{\theta}d\theta$$
y teniendo en cuenta la muy conocida integral $\int\sec{\theta}d\theta=\ln{\lvert\tan{\theta}+\sec{\theta}\rvert}+C$, tenemos:
$$6\int\sec^7{\theta}d\theta+16\int\sec^5{\theta}d\theta+18\int\sec^3{\theta}d\theta$$
$$=\sec^5{\theta}\tan{\theta}+\frac{21}{4}\sec^3{\theta}\tan{\theta}+\frac{135}{8}\sec{\theta}\tan{\theta}+\frac{135}{8}\ln{\lvert\tan{\theta}+\sec{\theta}\rvert}+C$$
Reemplazando $\sec{\theta}$ por $u$ y a $\tan{\theta}$ por $\sqrt{u^2-1}$,
$$6\int\frac{u^6}{\sqrt{u^2-1}}du+16\int\frac{u^4}{\sqrt{u^2-1}}du+18\int\frac{u^2}{\sqrt{u^2-1}}du$$
$$=u^5\sqrt{u^2-1}+\frac{21}{4}u^3\sqrt{u^2-1}+\frac{135}{8}u\sqrt{u^2-1}+\frac{135}{8}\ln{\lvert\sqrt{u^2-1}+u\rvert}+C$$
Reemplazando $u$ por $\sqrt{x-1}$ y simplificando,
$$\int\frac{3x^3-x^2+2x-4}{\sqrt{x^2-3x+2}}dx=(x-1)^2\sqrt{x^2-3x+2}+\frac{21}{4}(x-1)\sqrt{x^2-3x+2}$$
$$+\frac{135}{8}\sqrt{x^2-3x+2}+\frac{135}{8}\ln{\lvert\sqrt{x-2}+\sqrt{x-1}\rvert}+C$$
Pero
$$\frac{(135)(2)}{16}\ln{\lvert\sqrt{x-2}+\sqrt{x-1}\rvert}=\frac{135}{16}\ln{\lvert(\sqrt{x-2}+\sqrt{x-1})^2\rvert}$$
$$=\frac{135}{16}\ln{\lvert2\sqrt{x^2-3x+2}+2x-3\rvert}$$
Finalmente,
$$\int\frac{3x^3-x^2+2x-4}{\sqrt{x^2-3x+2}}dx=(x-1)^2\sqrt{x^2-3x+2}+\frac{21}{4}(x-1)\sqrt{x^2-3x+2}$$
$$+\frac{135}{8}\sqrt{x^2-3x+2}+\frac{135}{16}\ln{\lvert2\sqrt{x^2-3x+2}+2x-3\rvert}+C$$
Para $x=1$ la función anterior se reduce a $0$. Así, evaluando,
$$\int_{0}^{1}\frac{3x^3-x^2+2x-4}{\sqrt{x^2-3x+2}}=\frac{21\sqrt{2}}{4}-\frac{135\sqrt{2}}{8}-\sqrt{2}-\frac{135\ln{\lvert2\sqrt{2}-3\rvert}}{16}$$
$$=-2.981266944005536$$
Como la clave de una tarjeta de crédito solo admite cuatro dígitos (es decir, solo números), omitimos el signo negativo, el punto y voilà, la clave es 2981.
