GeoDom: enero 2017

lunes, 30 de enero de 2017

Los puntos

$E$ y

$F$ yacen en el lado

$BC$ del cuadrilátero convexo

$ABCD$ (con

$E$ más cerca que

$F$ de

$B$ ). Se sabe que

$\angle{BAE}=\angle{CDF}$ y

$\angle{EAF}=\angle{FDE}$ .

Demuestre que

$\angle{FAC}=\angle{EDB}$ .

Solución.

Lema 1. AEFD es cíclico.

Demostración. Se cumple que

$\angle{FDE}=\angle{EAF}$ .

Como consecuencia del lema 1,

$\angle{ADE}=\angle{AFE}=\gamma$ . Adoptemos

$\angle{BAE}=\angle{CDE}=\alpha$ y

$\angle{EAF}=\angle{FDE}=\beta$ .

Lema 2. ABCD es cíclico.

Demostración.

$\angle{ADC}=\alpha+\beta+\gamma$ y

$\angle{CBA}=180^\circ-\alpha-\angle{BEA}=180^\circ-\alpha-\beta-\gamma$ . Ahora,

$\angle{CBA}+\angle{ADC}=180^\circ-\alpha-\beta-\gamma+\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$ .

Como consecuencia del lema 2,

$\angle{BAC}=\angle{BDC}=\delta$ .

$\angle{FAC}=\delta-(\alpha+\beta)$ .

$\angle{EDB}=\delta-(\alpha+\beta)$ .