En la figura, P, Q y T son puntos de tangencia. Encuentre la medida de \angle{ATM}.
Lema 1. Denotemos con I el incentro del \triangle{ABC}. Llamemos M' a la segunda intersección de AI con la circunferencia circunscrita de \triangle{ABC}. Entonces, BTIPM' es cíclico.
Demostración. Evidentemente, BTIP es cíclico (por ángulos opuestos suplementarios). Note que \angle{BCA}=\angle{BM'A}=90^\circ. Pero \angle{BTI}=90^\circ, consecuentemente, BTIPM' es cíclico.
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Lema 2. M', P y Q están alineados.
Demostración. En un problema que data del 2014 demostré que para cualquier triángulo, \angle{BIA}=\angle{PQA} (ver aquí). Al ser \triangle{BTI}\cong{\triangle{BPI}} y como consecuencia del lema 1, \angle{TBI}=\angle{ABI}=\angle{IM'P}=\angle{AM'P}. Pero \angle{BAI}=\angle{IAQ}=\angle{M'AQ}, por lo tanto, al ser \angle{ABI}=\angle{IM'P}, \angle{BAI}=\angle{IAQ} y \angle{BIA}=\angle{PQA}, el ángulo \angle{M'PQ} del cuadrilátero M'PQA debe ser llano, ya que \angle{AM'P}+\angle{M'AQ}+\angle{PQA}=180^\circ . Por lo tanto, M', P y Q están alineados y M'=M (el punto M de nuestro problema original).
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De vuelta a nuestro problema original, note que \triangle{M'TA}\cong{\triangle{M'QA}} (por el criterio de congruencia LAL). Claramente, al ser \triangle{CPQ} un triángulo recto isósceles, \angle{M'QA}=\angle{M'TA}=135^\circ.
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