La importancia teórica de las fórmulas de medio ángulo

 A diferencia de las leyes de senos, de cosenos y de las tangentes, que son muy bien conocidas, las fórmulas de medio ángulo parecen (aunque aparecen tímidamente en la literatura matemática) no gozar de la misma popularidad. Así, mientras hay capítulos enteros dedicados a la ley de senos, de cosenos, de tangentes y a sus aplicaciones, no hay ni siquiera un artículo de Wikipedia sobre las fórmulas de medio ángulo. En estos momentos a lo mejor te estés imaginando esta versión de las fórmulas de medio ángulo

$$\sin{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{2}}\qquad\qquad\cos{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos{\alpha}}{2}},$$

que sí aparecen en los libros de texto de los primeros cursos de trigonometría (por lo menos con el que yo estudié). Pero en realidad me refiero a estas

$$\sin^2{\frac{\alpha}{2}} = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}\qquad\qquad\cos^2{\frac{\alpha}{2}}= \frac{s(s-a)}{bc},\tag{1}$$ 

donde $a$, $b$ y $c$ son los lados de un triángulo, $\alpha$ es el ángulo opuesto al lado $a$ y $s$ es el semiperímetro. La referencia más remota de estas fórmulas la encontré en una conversación publicada online entre Conway y Doyle, donde Conway las usa para demostrar la fórmula de Herón y luego señala haber sacado la demostración de una secuela de Casey.

Descubrí $(1)$ de manera independiente intentando demostrar la ley de cosenos por contradicción. Cuando me di cuenta que eran conocidas, intenté generalizarlas y obtuve esto

$$\sin^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{(s-a)(s-d)}{ad+bc}\qquad\qquad \cos^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{(s-b)(s-c)}{ad+bc},\tag{2}$$

donde $a$, $b$, $c$ y $d$ son los lados de un cuadrilátero cíclico, $s$ es su semiperímetro y $\angle{DAB}=\alpha$.

Antes de descubrir la conversación entre Conway y Doyle, me había ilusionado pensando haber encontrado una demostración original de la fórmula de Herón usando $(1)$. Cuando encontré $(2)$, pensé que por un razonamiento análogo lograría demostrar la fórmula de Brahmagupta. Y así fue. Pero en un foro de geometría alguien me refirió a un antiguo libro griego que contenía a $(2)$. Luego envié mi demostración de la fórmula de Brahmagupta a Martin Josefsson quien me remitió al libro «A Treatise On Plane Trigonometry» de Casey, donde ya aparecía mi demostración. Pero no me rendí e intenté generalizar $(2)$ consiguiendo esto

$$ad\sin^2{\frac{\alpha}{2}}+bc\cos^2{\frac{\gamma}{2}}=(s-a)(s-d)\qquad\qquad bc\sin^2{\frac{\gamma}{2}}+ad\cos^2{\frac{\alpha}{2}}=(s-b)(s-c),\tag{3}$$

donde $a$, $b$, $c$ y $d$ son los lados de un cuadrilátero general, $s$ su semiperímetro, $\angle{DAB}=\alpha$ y $\angle{BCD}=\gamma$.

La fórmula de Bretschneider es conocida por ser una generalización de las fórmulas de Herón y Brahmagupta. Naturalmente, me pregunté si podría generalizar la demostración de Casey de la fórmula de Brahmagupta usando $(3)$ y así derivar la fórmula de Bretschneider. Y lo hice. Envié mis fórmulas en $(3)$ y mi demostración de la fórmula de Bretschneider a Josefsson (entre muchos otros matemáticos) y esto me dijo:

«Me gusta su artículo, especialmente cómo pone estas fórmulas importantes en un solo marco. No puedo decir que recuerdo haber visto las identidades (4) y (5) en ningún otro lugar antes.»

Donde las identidades $(4)$ y $(5)$ son las identidades en $(3)$ de esta publicación.

Y luego dijo:

«Aunque ya se ha escrito mucho sobre estas fórmulas, las ideas para probar la fórmula de Bretschneider y el área de un cuadrilátero bicéntrico son novedosas que yo sepa. Espero que publiquen su trabajo.»

Decidí escribir un artículo sobre estas fórmulas titulado «Two Identities and their Consequences» que se publicó en MATINF, una revista rumana.

En casi tres años que tengo explorando posibles aplicaciones de $(1, 2, 3)$, esto es lo que he encontrado:

Usando $(1, 2)$  también podemos derivar (puedes ver las demostraciones aquí):

• La ley de cosenos
• La ley de senos
• La ley de las tangentes
• El teorema de Stewart
• Las fórmulas para ángulos compuestos
• La fórmula de Mollweide
• El producto $AI\cdot{BI}\cdot{CI}$
• La fórmula de la longitud del bisector
• Las fórmulas de Mahavira
• El lema de Zelich

Otras más obvias:

• $\tan{\frac{\alpha}{2}}\tan{\frac{\beta}{2}}+\tan{\frac{\alpha}{2}}\tan{\frac{\gamma}{2}}+\tan{\frac{\beta}{2}}\tan{\frac{\gamma}{2}}=1$
• $r=4R\sin{\frac{\alpha}{2}}\sin{\frac{\beta}{2}}\sin{\frac{\gamma}{2}}$
• $s=4R\cos{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\beta}{2}}\cos{\frac{\gamma}{2}}$
• Podría seguir...

Las fórmulas $(1, 2, 3)$ explican mejor de lo que he visto en cualquier otra parte el desarrollo Herón-Brahmagupta-Bretschneider. Esto me hizo preguntarme qué pasaría si aplicaba de forma análoga las fórmulas de medio ángulo a fórmulas donde aparecían de forma explícita ángulos medios, como la fórmula de Mollweide (o de Newton) o la ley de tangentes. Es así como surgieron estas dos generalizaciones:

• A generalization of Mollweide's formula (rather Newton's)
• A generalization of the law of tangent for a cyclic quadrilateral

Al cuestionar a Martin Josefsson sobre la originalidad de estas generalizaciones esto fue lo que dijo:

«Hasta donde puedo recordar, no he visto ninguna de ellas, al menos no en libros o artículos modernos, e incluso si alguna de ellas se encuentra en un texto antiguo, al menos no son muy conocidas, y merecen ser más conocidas.»

Y Alexander Mednykh dijo:

«Nunca vi estos resultados antes. Ciertamente, sería interesante encontrar una generalización no euclidiana de estos resultados.»

Aparte de la demostración de la fórmula de Bretschneider, no he encontrado más aplicaciones para $(3)$.

Curiosamente, los ángulos medios parecen estar por todas partes: desde los teoremas de ángulos en una circunferencia hasta la técnica de Sustitución de Weierstrass en Cálculo Integral. Incluso cuando Viète encontró su fórmula de $\pi$ usando un producto infinito, él empezó escribiendo $\sin{x}=2\sin{\frac12x}\cos{\frac12x}$. 

Algunos comentarios adicionales:

Thibaut Demaerel, investigador postdoctoral en física teórica en KU Leuven, comentó en el foro MathSE:

«Yo argumentaría (ciertamente un poco por la tangente) que tales fórmulas de medio ángulo proporcionan un medio elemental para probar el teorema fundamental del álgebra (una prueba accesible para una audiencia de secundaria).»

James Cook, de la Universidad de Alabama, comentó:

«Creo que has presentado un caso convincente de que estas fórmulas son bastante básicas. Por supuesto, sospecho que podría derivarse casi todo partiendo de la ley de los cosenos. ¿Qué es la ley de cosenos sino el corazón del producto escalar? Y, ¿qué es el producto escalar? Es la encapsulación algebraica del ángulo. Como mínimo, esto debería aparecer como problemas o una sección de tema adicional en los textos de trigonometría. Parece que esto sería excelente para un curso de honor de escuela de verano para dotados en matemáticas. El hecho de que no se enseñe podría aprovecharse para permitir que los estudiantes lo descubran.»

The compound angle formulas from the half angle formulas

My goal is not necessarily to give the simplest derivation. I've been trying to rescue the half angle formulas from oblivion and give them the status they deserve by showing its many applications.

Various proofs of the formulas of compound angles are given here. The cosine of the sum of two angles is given by the formula

$$\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\tag{1}$$

Proof. We take advantage of the cyclic nature of the half angle formulas whose proof can be found here. The proof of the half angle formulas given in the link makes use of the Pythagorean trigonometric identity and the double-angle formula for sine whose proofs (I hope you clicked on the links) are independent of the compound angle formulas.

Suppose $\triangle{ABC}$ is a triangle with sides $|BA|=a$, $|AC|=b$ and $|AB|=c$. Let $\angle{BAC}=2\alpha$, $\angle{CBA}=2\beta$ and $\angle{ACB}=2\gamma$. Let's start with the right-hand side of formula $(1)$. Substituting from the half angle formulas we have 

$$\begin{aligned} \cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} &= \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}\cdot{\frac{s(s-b)}{ac}}}-\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}\cdot{\frac{(s-a)(s-c)}{ac}}}\\&=\frac{s}{c}\cdot{\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{ab}}}-\frac{s-c}{c}\cdot{\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{ab}}}\\&=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{ab}}\cdot{\left(\frac{s}{c}-\frac{s-c}{c}\right)}\\&=\sin{\gamma}\\&=\sin{\left(\frac{\pi}{2}-(\alpha+\beta)\right)}\\&=\cos{(\alpha+\beta)}\end{aligned}$$

$\square$

The other formulas of compound angles can be obtained similarly.

A generalization of the law of tangent for a cyclic quadrilateral

The law of tangents is a statement about the relationship between the tangents of two angles of a triangle and the lengths of the opposing sides.

Let $a$, $b$, and $c$ be the lengths of the three sides of a triangle, and $\alpha$, $\beta$ and $\gamma$ be the angles opposite those three respective sides. The law of tangents states that

$$\frac{\tan\frac12(\alpha-\beta)}{\tan\frac12(\alpha+\beta)}=\frac{a-b}{a+b}\tag{1}$$

The law of tangent can be used in any case where two sides and the included angle, or two angles and a side, are known.

Although Viète gave us the modern version of the law of tangents, it was Fincke who stated the law of tangents for the first time and also demonstrated its application by solving a triangle when two sides and the included angle are given. An excellent overview of the history of the law of tangents together with several proofs are given by Wu - The Story of Mollweide and Some Trigonometric Identities.

Generalization. Let $a$, $b$, $c$ and $d$ be the sides of a cyclic convex quadrilateral. Let $\angle{DAB}=\alpha$ and $\angle{ABC}=\beta$, then the following identity holds

$$\frac{\tan\frac12(\alpha-\beta)}{\tan\frac12(\alpha+\beta)}=\frac{(a-c)(b-d)}{(a+c)(b+d)}\tag{2}$$

Proof. Using the sum-to-product formulas we can rewrite the left-hand side of $(2)$ as follows

$$\frac{\tan\frac12(\alpha-\beta)}{\tan\frac12(\alpha+\beta)}=\frac{\sin\frac12(\alpha-\beta)\cos\frac12(\alpha+\beta)}{\cos\frac12(\alpha-\beta)\sin\frac12(\alpha+\beta)}=\frac{\sin{\alpha}-\sin{\beta}}{\sin{\alpha}+\sin{\beta}}$$

The area of a cyclic quadrilateral can be expressed as $\Delta=\frac12(ad+bc)\sin{\alpha}$ (see $(12)$ at Killing three birds with one stone) and similarly for the other angles. Then substituting, simplifying and factorizing we have

$$\begin{align*}\frac{\tan\frac12(\alpha-\beta)}{\tan\frac12(\alpha+\beta)}&=\frac{\frac{2\Delta}{ad+bc}-\frac{2\Delta}{ab+cd}}{\frac{2\Delta}{ad+bc}+\frac{2\Delta}{ab+cd}}=\frac{ab-ad+cd-bc}{ab+ad+cd+bc}=\frac{(a-c)(b-d)}{(a+c)(b+d)}\end{align*}$$

$\square$

The formula $(2)$ reduces to the law of tangent for a triangle when $c=0$.

A historical correction: Fincke was not the first to publish the law of tangents. It was actually Ibn Muadh who first described it in the 11th century. See the discussion at HSMSE.

Update. This generalization was published by Mathematics Magazine and it is available here. 

See also

• A generalization of Mollweide's Formula (rather Newton's)
  
• Proofs and applications of two well-known formulae involving sine, cosine and the semiperimeter of a triangle
• Two Identities and their Consequences

A generalization of Mollweide's formula (rather Newton's)

Mollweide’s formula, sometimes also referred to as Mollweide’s equation, is a set of two relationships between sides and angles in a triangle. This equation is particularly useful in checking one’s result after solving an oblique triangle since all six components of the triangle are involved.

Let $a$, $b$, and $c$ be the lengths of the three sides of a triangle. Let $\alpha$, $\beta$, and $\gamma$ be the measures of the angles opposite those three sides respectively. Mollweide's formula states that
$$\frac{a+b}{c}=\frac{\cos{\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}}{\sin{\left(\frac{\gamma}{2}\right)}}\tag{1}$$
and
$$\frac{a-b}{c}=\frac{\sin{\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}}{\cos{\left(\frac{\gamma}{2}\right)}}\tag{2}$$

The equations adopt their name from a German mathematician and astronomer Karl Brandan Mollweide. Nonetheless, this pair of equations was discovered earlier by Isaac Newton and fully developed by Thomas Simpson. An excellent overview of the history of Mollweide’s formula is given by Wu (2007).

For proofs of the Mollweide's formula we invite the readers to see Karjanto's article on the subject (see here). 

Generalization. Let $a$, $b$, $c$ and $d$ be the sides of a cyclic convex quadrilateral. Let $\angle{DAB}=\alpha$, $\angle{ABC}=\beta$, $\angle{BCD}=\gamma$ and $\angle{CDA}=\delta$. Denote $\theta$ the angle between the diagonals (see figure below), then the following identity holds

$$\frac{\sin{\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}}{\cos{\left(\frac{\gamma-\delta}{2}\right)}}=\frac{a+c}{b+d}\cot{\left(\frac{\theta}{2}\right)}\tag{3}$$

Proof. We take advantage of the cyclic nature of the half-angle formulas (see $(1)$ here) in combination with the formulas of compound angles. 

$$\frac{\sin{\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}}{\cos{\left(\frac{\gamma-\delta}{2}\right)}}=\frac{\sin{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\beta}{2}}+\cos{\frac{\alpha}{2}}\sin{\frac{\beta}{2}}}{\cos{\frac{\gamma}{2}}\cos{\frac{\delta}{2}}+\sin{\frac{\gamma}{2}}\sin{\frac{\delta}{2}}}$$

Substituting from the half-angle formulas

$$\frac{\sin{\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}}{\cos{\left(\frac{\gamma-\delta}{2}\right)}}=\frac{\sqrt{\frac{(s-a)(s-d)}{ad+bc}}\sqrt{\frac{(s-c)(s-d)}{ab+cd}}+\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{ad+bc}}\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{ab+cd}}}{\sqrt{\frac{(s-a)(s-d)}{ad+bc}}\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{ab+cd}}+\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{ad+bc}}\sqrt{\frac{(s-c)(s-d)}{ab+cd}}}$$

Simplifying and factorizing

$$\frac{\sin{\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}}{\cos{\left(\frac{\gamma-\delta}{2}\right)}}=\sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{(s-b)(s-d)}}\cdot{\frac{(s-d)+(s-b)}{(s-a)+(s-c)}}$$

It is well-known that $\tan{\left(\frac{\theta}{2}\right)}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}$ (see here), so the formula reduces to 

$$\frac{\sin{\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}}{\cos{\left(\frac{\gamma-\delta}{2}\right)}}=\frac{a+c}{b+d}\cot{\left(\frac{\theta}{2}\right)}$$

$\square$

Note that as with Mollweide's formulas, this version for a cyclic quadrilateral not only relates the four sides to the four angles, but also includes the angle between the diagonals. I have to admit I was skeptical as to whether it was really a generalization of Mollweide's formula (it was not clear to me). I have published the result in a forum where someone whose nickname is Blue has shown that indeed the formula $(3)$ generalizes Mollweide's formula, more specifically, it generalizes Newton's version (see here).

You can download the entire article here. And here, you can download comments from reviewers of the Mathematical Association of America.

Update. I am pleased to announce that this generalization was published by the Romanian journal MATINF.

This is another example of what the half angle formulas can do for us. See also

• A generalization of the law of tangents
• Proofs and applications of two well-known formulae involving sine, cosine and the semiperimeter of a triangle
• Two Identities and their Consequences

PAGMO 2021 - Problemas 2, 6

Estas son mis soluciones a los problemas $2$ y $6$ de la Olimpiada Panamericana Femenil de Matemáticas.

Problema 2. Considere el triángulo rectángulo isósceles $\triangle{ABC}$ con $\angle{BAC}=90^\circ$. Sea $l$ la recta que pasa por $B$ y el punto medio del lado $AC$. Sea $\tau$ la circunferencia con diámetro $AB$. La recta $l$ y la circunferencia $\tau$ se intersecan en el punto $P$, diferente de $B$. Muestre que la circunferencia que pasa por los puntos $A$, $C$ y $P$ es tangente a la recta $BC$ en $C$.

Demostración. Considera una línea, $m$, paralela a $AB$ que pase por $C$. Denota con $D$ la intersección de $l$ y $m$. Por el Teorema de Tales, $\angle{APD}=90^\circ$. Como $\angle{ACD}$ es recto, tenemos que $APCD$ es cíclico. Llamemos $M$ al punto medio de $AC$. Claramente, $\triangle{ABM}\cong{\triangle{CDM}}$ (por el criterio $ALA$) con $CD=AB=AC$, por lo que $\triangle{ACD}$ es también un triangulo rectángulo isósceles con $\angle{ADC}=\angle{ACB}$. Por la conversa del Teorema del Segmento Alterno, la circunferencia que pasa por los puntos $A$, $P$ y $C$ debe ser tangente a $BC$ en $C$.

Problema 6. Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y sea $\tau$ el excírculo opuesto al vértice $A$. Suponga que $\tau$ es tangente a las rectas $BC$, $AC$ y $AB$ en los puntos $A_1$, $B_1$ y $C_1$, respectivamente. Suponga que las rectas $IA_1$, $IB_1$ e $IC_1$ intersectan nuevamente a $\tau$ en los puntos $A_2$, $B_2$ y $C_2$, respectivamente. Sea $M$ el punto medio del segmento $AA_1$. Si las rectas $A_1B_1$ y $A_2B_2$ se intersectan en $X$ y las rectas $A_1C_1$ y $A_2C_2$ se intersectan en $Y$, demuestre que $MX=MY$.

Demostración. Claramente, $\angle{ABI}=\angle{BC_1A_1}$, por lo que  $BI\parallel{A_1C_1}$. Por propiedad de ángulos entre paralelas, $\angle{BIC_1}=\angle{IC_1A_1}$ y por propiedad del ángulo semiinscrito, $\angle{BC_1I}=\angle{C_1A_1C_2}$. Esto implica que $\triangle{IBC_1}\sim{\triangle{A_1C_1C_2}}$. Luego sigue que $\angle{IC_2A_1}=180^\circ-\angle{C_1C_2A_1}=180^\circ-\angle{C_1BI}=\angle{ABI}=\angle{A_1BI}=\frac{\angle{ABC}}{2}$. De donde se deduce que $IBC_2A_1$ es cíclico. Denotemos con $N$ la segunda intersección de $BC_2$ con $\tau$. Por el Teorema de Reim, $BI\parallel{A_2N}$. Note que $A_1NC_1C_2$ es un cuadrilátero armónico, por lo que si proyectamos desde $A_2$ sobre la recta $A_1C_1$, también paralela a $A_2N$ (recuerde que $BI\parallel{A_1C_1}$), tenemos

$$-1=(N, C_2; C_1, A_1)\stackrel{A_2}{=}(P_\infty, Y; C_1, A_1).$$

Esto implica que $Y$ es el punto medio de $A_1C_1$. Análogamente, $X$ es el punto medio de $A_1B_1$.  Por el Teorema del Segmento Medio, $MY=\frac{AC_1}{2}$ y $MX=\frac{AB_1}{2}$. Pero $AC_1=AB_1$ por ser tangentes comunes, por lo tanto $MY=MX$.

Generalized half-angle formulas - Hyperbolic version

In Mathoverflow I wonder about the possibility of finding non-Euclidean versions of the generalized half-angle formulas $[1]$. The Russian mathematician Alexander Mednykh has kindly answered my question. Specifically, he has derived the hyperbolic version. Look at the following link:

Note: Generalized half-angle formula - Hyperbolic version

Reference
$[1]$ E. A. José García, Two Identities and their Consequences, MATINF, 6 (2020) 5-11.

Using the half-angle formula for cosine to derive Zelich's lemma on mixtilinear incircles

Lemma (Ivan Zelich). Let $w$ be the $A$-mixtilinear incircle in $\triangle{ABC}$ touching side $AB$ at $E$, side $AC$ at $F$. Then

$$AE=AF=\frac{bc}{s}\tag{1}$$

where $s$ is the semiperimeter.

Proof 1. The radius of $w$ inscribed in $\angle{CAB}=\alpha$ is given by

$$\rho_a=r\sec^2{\frac{\alpha}{2}}\tag{2}$$

where $r$ is the inradius of the reference triangle and $\rho_a$ is the radius of $w$ (Durell and Robson 1935).

A proof of $(2)$ can be found here (see pp. 13).

The half-angle formula for cosine states that 

$$\cos^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{s(s-a)}{bc}\tag{3}$$

See here for a proof of $(3)$.

Call $I$ the Incenter of $\triangle{ABC}$ and $D$ the touchpoint between the incircle and $AC$. Denote $K$ the center of $w$. Notice that $\triangle{AID}\sim\triangle{AKF}$. Now, by similarity of triangles we have

$$\frac{r}{s-a}=\frac{\rho_a}{AF}\tag{4}$$

Combining $(2)$ and $(3)$ in $(4)$ we get $(1)$.

$\square$

Proof 2. We can also derive $(1)$ using the relationships $\Delta=rs$ and $\Delta=\frac{bc\sin{\alpha}}{2}$. Indeed, since 

$$r=\frac{\Delta}{s}=\frac{\frac{bc\sin{\alpha}}{2}}{s}=\frac{bc\sin{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}}}{s}.$$

Substituting in $(2)$ and simplifying we get 

$$\rho_a=r\sec^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{bc}{s}\tan{\frac{\alpha}{2}}=\frac{bc\rho_a}{s\cdot{AF}}$$

from which the result holds. 

$\square$

A proof using inversion can be found here. 

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Conic in Mixtilinear Incircles