Un lema sobre segmentos congruentes

Considera un triángulo $\triangle{ABC}$. Los puntos $E$ y $F$ son los puntos donde el incírculo toca los lados $AB$ y $AC$, respectivamente. $M$ y $N$ son los puntos medios de los lados $AB$ y $BC$, respectivamente. Llamemos $P$ es la intersección de $EF$ y $MN$.

Lema.
a) $BN=CN=NP$.
b) $CP$ es la bisectriz de $\angle{ACB}$.
c) $BPEID$ es cíclico ($I$ es el incentro de $\triangle{ABC}$).

Demostración a). Denotemos con $s$ el semiperímetro de $\triangle{ABC}$. Entonces tenemos

$$s=AE+BC$$

$$\frac{AB}{2}+\frac{BC}{2}+\frac{AC}{2}=AE+BC$$

$$\frac{AB}{2}+\frac{AC}{2}-AE=\frac{BC}{2}$$

Pero $\frac{AB}{2}-AE=EM$ y $\frac{AC}{2}=MN$. Además, es fácil notar que $\triangle{AEF}$ y $\triangle{EMP}$ son triángulos isósceles semejantes con $EM=MP$, de modo que  $\frac{AB}{2}+\frac{AC}{2}-AE=\frac{BC}{2}$ puede reescribirse como $MP+MN=\frac{BC}{2}$ y hemos terminado.

Demostración b). Note que $AC$ es paralela con $MN$ y $\triangle{PNC}$ es isósceles, de donde resulta que  $\angle{NCP}=\angle{NPC}=\frac{180^\circ-(180-\angle{ACB})}{2}=\frac{\angle{ACB}}{2}$. 

Demostración c). El cuadrilátero $BEID$ es cíclico puesto que es un deltoide recto. Note que como consecuencia de a) y b) $\angle{EPI}=\angle{EPM}-\frac{\angle{ACB}}{2}=\frac{180^\circ-\angle{BAC}}{2}-\frac{\angle{ACB}}{2}=\frac{\angle{ABC}}{2}$. Pero $\angle{EBI}=\frac{\angle{ABC}}{2}$, por lo tanto, $BPEID$ es cíclico.