Sea \triangle{ABC} un triángulo e I el punto de intersección de sus bisectrices. Sea \tau la circunferencia con centro I que es tangente a los tres lados del triángulo y sean D en BC y E en AC los puntos de tangencia de \tau con BC y AC. Sean M y N los puntos medios de BC y AB, respectivamente. Demostrar que AI, DE y MN concurren en un punto común.
Demostración. Supongamos que ED y MN se cortan en P. Si llamamos X a la intersección de EF con MN, donde F es el punto de contacto de \tau con AB, sabemos que BXFD es cíclico y NX=NB (ver demostración aquí). Claramente \triangle{FMX}\sim{\triangle{AEF}} con \angle{FXP}=\angle{AFE}=\angle{FDP}, implicando que P yace sobre (BXFD). Al ser \triangle{NXB} isósceles, \angle{PFB}=\angle{PXB}=\frac{180^\circ-\angle{ACB}}{2}. Dicho esto, no es difícil darse cuenta que FP=EP, significando que PFAE es un deltoide y, como consecuencia, AP es la bisectriz de \angle{FAE}. Esto demuestra que MN, ED y AI son concurrentes y hemos terminado.
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