Sea $\triangle{ABC}$ un triángulo e $I$ el punto de intersección de sus bisectrices. Sea $\tau$ la circunferencia con centro $I$ que es tangente a los tres lados del triángulo y sean $D$ en $BC$ y $E$ en $AC$ los puntos de tangencia de $\tau$ con $BC$ y $AC$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BC$ y $AB$, respectivamente. Demostrar que $AI$, $DE$ y $MN$ concurren en un punto común.
Demostración. Supongamos que $ED$ y $MN$ se cortan en $P$. Si llamamos $X$ a la intersección de $EF$ con $MN$, donde $F$ es el punto de contacto de $\tau$ con $AB$, sabemos que $BXFD$ es cíclico y $NX=NB$ (ver demostración aquí). Claramente $\triangle{FMX}\sim{\triangle{AEF}}$ con $\angle{FXP}=\angle{AFE}=\angle{FDP}$, implicando que $P$ yace sobre $(BXFD)$. Al ser $\triangle{NXB}$ isósceles, $\angle{PFB}=\angle{PXB}=\frac{180^\circ-\angle{ACB}}{2}$. Dicho esto, no es difícil darse cuenta que $FP=EP$, significando que $PFAE$ es un deltoide y, como consecuencia, $AP$ es la bisectriz de $\angle{FAE}$. Esto demuestra que $MN$, $ED$ y $AI$ son concurrentes y hemos terminado.
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