Segmentos congruentes en una configuración de Vecten

Considera un triángulo $ABC$. Sobre los lados $BC$ y $AB$, construye externamente los cuadrados $BCIH$ y $ABGF$, respectivamente. Sobre el lado $AC$, construye internamente el cuadrado $ACDE$ (ver figura debajo). Demuestre que $EG = DH$.

Demostración. Evidentemente, $\triangle{BCG}\cong{\triangle{ABH}}$, por lo que $CG=AH$. Si $P$ es la intersección de $CG$ y $AH$, note que 

$$\angle{APC}=180^\circ-\angle{CAP}-\angle{ACP}$$

$$\angle{APC}=180^\circ-(\angle{CAB}-\angle{BAH})-(\angle{ACB}-\angle{BCG}).$$

Pero $\angle{BAH}+\angle{BCG}=90^\circ-\angle{ABC}$. De lo anterior resulta que 

$$\angle{APC}=180^\circ-\angle{CAB}+\angle{BAH}-\angle{ACB}+\angle{BCG}$$

$$\angle{APC}=180^\circ-\angle{CAB}-\angle{ACB}+90^\circ-\angle{ABC}=90^\circ.$$

Note además que $\angle{ACG}=90^\circ-\angle{CAP}=\angle{EAH}$, de donde inferimos que $\triangle{ACG}\cong{\triangle{AEH}}$, por $LAL$. Consecuentemente, 

$$\angle{DEH}=\angle{AEH}-90^\circ=\angle{CAG}-90^\circ=\angle{EAG}.$$ 

Pero $AG=EH$, por lo que $\triangle{EAG}\cong{\triangle{DEH}}$ (también por $LAL$) y esto completa la demostración.

Ver fuente del problema aquí.