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sábado, 29 de febrero de 2020

Segmentos congruentes en una configuración de Vecten

Considera un triángulo ABC. Sobre los lados BC y AB, construye externamente los cuadrados BCIH y ABGF, respectivamente. Sobre el lado AC, construye internamente el cuadrado ACDE (ver figura debajo). Demuestre que EG = DH.




Demostración. Evidentemente, \triangle{BCG}\cong{\triangle{ABH}}, por lo que CG=AH. Si P es la intersección de CG y AH, note que 

\angle{APC}=180^\circ-\angle{CAP}-\angle{ACP}
\angle{APC}=180^\circ-(\angle{CAB}-\angle{BAH})-(\angle{ACB}-\angle{BCG}).

Pero \angle{BAH}+\angle{BCG}=90^\circ-\angle{ABC}. De lo anterior resulta que 

\angle{APC}=180^\circ-\angle{CAB}+\angle{BAH}-\angle{ACB}+\angle{BCG}
\angle{APC}=180^\circ-\angle{CAB}-\angle{ACB}+90^\circ-\angle{ABC}=90^\circ.

Note además que \angle{ACG}=90^\circ-\angle{CAP}=\angle{EAH}, de donde inferimos que \triangle{ACG}\cong{\triangle{AEH}}, por LAL. Consecuentemente, 

\angle{DEH}=\angle{AEH}-90^\circ=\angle{CAG}-90^\circ=\angle{EAG}. 

Pero AG=EH, por lo que \triangle{EAG}\cong{\triangle{DEH}} (también por LAL) y esto completa la demostración.

Ver fuente del problema aquí.

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