Problema 6 de la Olimpiada Regional del Distrito Nacional, R.D.

En el cuadrilátero convexo $ABCD$, los lados $AB$, $BC$ y $CD$ son congruentes. Hallar  $x$. 

Solución. Llamemos $F$ a la intersección de la paralela a $AD$ que pasa por $C$ y la paralela a $CD$ que pasa por $A$. Por propiedades de ángulos entre paralelas, tenemos que $\angle{BAF}=2x$ y $\angle{BCF}=x$. También, al ser $ADCF$ un paralelogramo, $AF=CD=AB$, de donde resulta que el triángulo $\triangle{ABF}$ es isósceles. Denotemos por $A'$ la proyección ortogonal de $A$ sobre $BF$. Del mismo modo, denotemos por $B'$ la proyección ortogonal de $B$ sobre $CF$. Claramente, $\triangle{AA'B}\cong{\triangle{BB'C}}$. Note que el seno de $\angle{BFB'}=\frac{1}{2}$, por lo que $\angle{BFB'}=30^\circ$. De este modo $\angle{AFC}=\angle{AFB}+\angle{BFB'}=120^\circ-x$.

Si trazamos la diagonal $AC$, entonces, $\angle{BAC}=\angle{BCA}=\frac{11x-7x}{2}=2x$. Finalmente, la suma de los ángulos internos de $\triangle{ACF}$ es

$$4x+3x+120^\circ-x=180^\circ.$$

Resolviendo para $x$ obtenemos que $x=10^\circ$.