Solución alternativa a un problema de admisión

Considera un cuadrado $ABCD$. $E$ y $F$ son puntos en los lados $DC$ y $AD$, respectivamente. Si $\angle{EFB}=90^\circ$, $BF=4$, $EF=3$ y $BE=5$, determina la longitud del segmento $CE=x$.

Solución. Note que $\angle{EFB}+\angle{ECB}=180^\circ$, por lo que el cuadrilátero $BFEC$ es cíclico. Por propiedad de ángulos inscritos en una misma circunferencia, los ángulos $\angle{FCE}$ y $\angle{FBE}$ son congruentes (intersecan un mismo arco). Pero $\angle{FCE}=\angle{FCD}$, implicando que $\triangle{BFE}\sim\triangle{CDF}$, de donde resulta la siguiente proporción:

$$\frac{CF}{5}=\frac{a}{4},$$

donde $a$ es la longitud de los lados del cuadrado.

Podemos expresar el segmento $CF$ en términos de $x$ y $a$ por medio del teorema de Ptolomeo, es decir, 

$$3a+4x=5CF$$

De vuelta a nuestra proporción, 

$$\frac{\frac{3a+4x}{5}}{5}=\frac{a}{4}$$

Despejando para $x$, resulta

$$x=\frac{13a}{16}$$

Aplicando Pitágoras en el triángulo $\triangle{BCE}$, 

$$\left(\frac{13a}{16}\right)^2+a^2=25$$

Resolviendo para $a$ y descartando valores negativos, obtenemos $a=\frac{16\sqrt{17}}{17}$. Finalmente, $x=\frac{13a}{16}=\frac{13}{16}\cdot{\frac{16\sqrt{17}}{17}}=\frac{13\sqrt{17}}{17}\approx3.15296312...$