XIX Olimpiada Matemática de Centroamérica y el Caribe 2017 - Problema 3

Dado un triángulo $ABC$, sean $D$ el pie de la altura desde $A$, y $L$ la recta que pasa por los puntos medios de $AC$ y $BC$. Sea $E$ la reflexión del punto $D$ respecto a $L$. Demuestre que el circuncentro del triángulo $ABC$ está sobre la recta $AE$. El examen completo lo puede encontrar aquí.

Demostración.

Sean $M_a$ y $M_b$ los puntos medios de los lados $BC$ y $AC$, respectivamente. Es obvio que $DM_b=AM_b=CM_b=R$, por ser $DM_b$ el radio de la circunferencia circunscrita del triángulo rectángulo $ACD$, que denotamos con $(ACD)$. Al ser $E$ la reflexión de $D$ respecto a la recta $M_aM_b$, el triángulo $DEM_b$ es isósceles y $DM_b=EM_b$, significando que $E$ yace en $(ACD)$. Denotemos con $D'$ la intersección de $DE$ con $M_aM_b$. Los triángulos $DD'M_a$ y $ABD$ son similares por propiedad de ángulos entre paralelas (note que $AB$ es paralela con $M_aM_b$ por propiedad del triángulo medial). Entonces, los ángulos $\angle{EDC}$ y $\angle{BAD}$ son congruentes. Además $\angle{BAD} = \angle{EDC} = \angle{EAC}$. Al ser $AO$ la conjugada isogonal de $AD$, $\angle{CAO} = \angle{BAD} = \angle{EAC}$. $\square$