Colinealidad Asociada a Tres Cuadrados.

Considera tres cuadrados, $ABCD$, $DPEF$ y $PBGH$, dispuestos como se muestra en la animación. Demostrar que $F$, $C$ y $G$ están alineados. Este problema fue propuesto por Yura Biletsky, en el grupo de Facebook "Romantics of Geometry".

Demostración. No soy muy partidario de la geometría de coordenadas, pero en este caso me pareció bastante simple el enfoque analítico. Tomemos como origen de nuestro sistema de coordenadas el punto $A$ y llamemos $a$ al lado del cuadrado $ABCD$, entonces tenemos las siguientes coordenadas: 

$A: (0, 0)$

$B: (a, 0)$

$C: (a, a)$

$D: (0, a)$

$P: (m, n)$

Note que las coordenadas de $F$ pueden obtenerse rotando el punto $P$ unos $90^\circ$ con respecto a $D$. Similarmente, el punto $G$ puede obtenerse rotando el punto $P$ unos $270^\circ$ con respecto a $B$. Las coordenadas de la imagen de un punto rotado pueden obtenerse con las siguientes expresiones:

$$x'=(x-h)cos\theta-(y-k)sen\theta+h$$

$$y'=(y-k)cos\theta+(x-h)sen\theta+k$$

De donde obtenemos

$F: (a-n, a+m)$

$G: (a+n, a-m)$

La pendiente de la línea $CF$ es $\frac{a-(a+m)}{a-(a-n)}=-\frac{m}{n}$. Y la pendiente de la línea $CG$ es $\frac{a-(a-m)}{a-(a+n)}=-\frac{m}{n}$. Ambas pendientes son iguales, por lo tanto, $F$, $C$ y $G$ están alineados.