Los puntos $E$ y $F$ yacen en el lado $BC$ del cuadrilátero convexo $ABCD$ (con $E$ más cerca que $F$ de $B$). Se sabe que $\angle{BAE}=\angle{CDF}$ y $\angle{EAF}=\angle{FDE}$.
Demuestre que $\angle{FAC}=\angle{EDB}$.
Solución.
Demostración. Se cumple que $\angle{FDE}=\angle{EAF}$.
Como consecuencia del lema 1, $\angle{ADE}=\angle{AFE}=\gamma$. Adoptemos $\angle{BAE}=\angle{CDE}=\alpha$ y $\angle{EAF}=\angle{FDE}=\beta$.
Lema 2. ABCD es cíclico.
Demostración. $\angle{ADC}=\alpha+\beta+\gamma$ y $\angle{CBA}=180^\circ-\alpha-\angle{BEA}=180^\circ-\alpha-\beta-\gamma$. Ahora, $\angle{CBA}+\angle{ADC}=180^\circ-\alpha-\beta-\gamma+\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$.
Lema 2. ABCD es cíclico.
Demostración. $\angle{ADC}=\alpha+\beta+\gamma$ y $\angle{CBA}=180^\circ-\alpha-\angle{BEA}=180^\circ-\alpha-\beta-\gamma$. Ahora, $\angle{CBA}+\angle{ADC}=180^\circ-\alpha-\beta-\gamma+\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$.
Como consecuencia del lema 2, $\angle{BAC}=\angle{BDC}=\delta$.
$\angle{FAC}=\delta-(\alpha+\beta)$.
$\angle{EDB}=\delta-(\alpha+\beta)$.
$\angle{FAC}=\delta-(\alpha+\beta)$.
$\angle{EDB}=\delta-(\alpha+\beta)$.
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