Un problema que involucra excírculos

El problema consiste en demostrar que $EF$ y $GH$ se intersecan en $AC$.

Demostración: Si $EF$ interseca a $AC$ en $P$, será suficiente probar que $H$, $G$ y $P$ están alineados. Por el teorema de Menelao, el problema queda resuelto si probamos que

$$\frac{AG}{GB}\cdot{\frac{BH}{HC}}\cdot{\frac{CP}{PA}}=-1$$

Note que $GB=BH$, por lo que la expresión $\frac{AG}{GB}\cdot{\frac{BH}{HC}}\cdot{\frac{CP}{PA}}=-1$ queda reducida a 

$$\frac{AG}{HC}\cdot{\frac{PC}{PA}}=-1$$ 

Note también que $AG=DA$ y $HC=DC$. Así, reescribiendo,

 $$\frac{DA}{DC}\cdot{\frac{PC}{PA}}=-1$$

Pero los puntos $A$, $C$, $D$ y $P$ forman una cuaterna armónica, por lo tanto, $-\frac{PA}{PC}=\frac{DA}{DC}$. De modo que 

$$\frac{DA}{DC}\cdot{\frac{PC}{PA}}=-\frac{PA}{PC}\cdot{\frac{PC}{PA}}=-1$$

$\square$

Problema del libro "Geometry in Figures" de Arseniy Akopyan.