Tres Círculos Congruentes y un Triángulo Equilátero

En la figura adjunta los tres círculos son iguales de radio 4 y tangentes externos dos a dos, siendo $P_1$, $P_2$ y $P_3$ puntos de tangencia y los segmentos $P_1P_2=P_2P_3=P_3P_1$. Hallar el área del triángulo $P_1P_2P_3$. Este problema fue propuesto por Walter Sivoli en el grupo de Facebook Matemáticas Puras y Aplicadas.

Solución.

En general, denotaremos el radio de los tres círculos con $r$ y el lado del triángulo con $l$. En la figura, note que al ser $P_2P_3$ tangente al círculo $(O_2, O_2P_2)$ en $P_2$ el triángulo $O_2P_2P_3$ es rectángulo, por lo que, aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos

$$O_2P_3^2=P_2P_3^2+O_2P_2^2$$

$$O_2P_3^2=l^2+r^2$$

$$O_2P_3=\sqrt{l^2+r^2}$$

Note que al ser $P_1P_3$ tangente al círculo $(O_3, O_3P_3)$ en $P_3$, el ángulo $\angle{O_3P_3P_1}=90^\circ$. Como $P_1P_2P_3$ es un triángulo equilátero, tenemos que 

$$\angle{O_3P_3P_2}=\angle{O_3P_3P_1}-\angle{P_1P_2P_3}=90^\circ-60^\circ=30^\circ$$

El seno y el coseno del ángulo $\angle{O_2P_3P_2}$ están dados por $\frac{r}{\sqrt{l^2+r^2}}$ y $\frac{l}{\sqrt{l^2+r^2}}$, respectivamente. Ahora, fíjese que por la Ley de Cosenos tenemos la siguiente ecuación:

$$O_2P_3^2+O_3P_3^2-2\cdot{O_2P_3}\cdot{O_3P_3}\cdot{\cos{(\angle{O_3P_3P_2}+\angle{P_2P_3O_2})}}=O_2O_3^2$$

Reescribiendo en términos de $l$ y $r$, y usando la identidad para el coseno de la suma de dos ángulos, tenemos

$$l^2+r^2+r^2-2\cdot{\sqrt{l^2+r^2}}\cdot{r}[(\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{l}{\sqrt{l^2+r^2}})-(\frac{1}{2})(\frac{r}{\sqrt{l^2+r^2}})]=4r^2$$

Simplificando,

$$l^2+3r^2-r\cdot{l}\sqrt{3}=4r^2$$

Resolviendo la ecuación para $l$:

$$l=\frac{r(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{2}$$

Así, para el caso del problema donde $r=4$, 

$$l=2(\sqrt{7}+\sqrt{3})$$

El área para un triángulo equilátero es $\frac{l^2\sqrt{3}}{4}$. Así el área buscada es

$$10\sqrt{3}+6\sqrt{7}$$