Una aplicación del Teorema de Ceva en su Versión Trigonométrica

Este es el punto de concurrencia 761 en la colección de puntos de concurrencia del Dr. Hans Walser. El problema se acredita a Abdilkadir Altintas.

Considere un triángulo $ABC$ y su incírculo. $E$, $F$ y $G$ son los puntos donde el incírculo de $ABC$ toca los lados $AC$, $AB$ y $BC$, respectivamente. Ahora considere el incírculo del triángulo $EFG$. $H$, $I$, $J$ son los puntos donde el incírculo de $EFG$ toca los lados $EG$, $FG$ y $EF$, repectivamente.

Demuestre que $AJ$, $BI$ y $CH$ concurren.

Demostración.

Apelaremos a la versión trigonométrica del Teorema de Ceva para demostrar la concurrencia. Es decir, demostraremos que

$$\frac{sen\angle{ECH}}{sen\angle{GCH}}\bullet\frac{sen\angle{GBI}}{sen\angle{FBI}}\bullet\frac{sen\angle{FAJ}}{sen\angle{EAJ}}=1$$

Note que $EJ=EH=m$; $GH=GI=n$; $FI=FJ=l$. También $CE=CG=o$.

Por la Ley de Senos, 

$sen\angle{ECH}=\frac{msen\angle{EHC}}{o}$

Análogamente, 

$sen\angle{GCH}=\frac{nsen\angle{GHC}}{o}$

Así,

$$\frac{sen\angle{ECH}}{sen\angle{GCH}}=\frac{msen\angle{EHC}}{nsen\angle{GHC}}$$

Pero $\angle{GHC}=180^\circ-\angle{EHC}$

De este modo tenemos que

$$\frac{sen\angle{ECH}}{sen\angle{GCH}}=\frac{m}{n}$$

Por analogía, 

$$\frac{sen\angle{GBI}}{sen\angle{FBI}}=\frac{n}{l}$$

$$\frac{sen\angle{FAJ}}{sen\angle{EAJ}}=\frac{l}{m}$$

De donde sigue que

$$\frac{sen\angle{ECH}}{sen\angle{GCH}}\bullet\frac{sen\angle{GBI}}{sen\angle{FBI}}\bullet\frac{sen\angle{FAJ}}{sen\angle{EAJ}}=\frac{m}{n}\bullet\frac{n}{l}\bullet\frac{l}{m}=1$$

$Q.E.D.$

En el siguiente enlace podrás ver la colección completa del Dr. Hans Walser, a la cual he contribuido las concurrencias 756, 757, 758, 759 y 760.

Schnittpunkte