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viernes, 3 de marzo de 2017

Sangaku Journal of Mathematics - Problema 2017 - 6

En este problema tipo Sangaku, se requiere demostrar que el radio del círculo pequeño, tangente a los dos semicírculos y al cuarto de círculo, es \frac{4s}{33}, donde s es la longitud del lado del cuadrado ABCD



Demostración.


Denotemos con O el centro del círculo pequeño de radio r. Llamemos E y F a los puntos medios de los lados AB y AD, respectivamente. Hagamos G y H los puntos donde las perpendiculares desde O intersectan los lados AB y AD, respectivamente. Y, Z son los puntos donde el círculo pequeño toca los semicírculos con diámetros AD y AB, respectivamente. X es el punto donde el círculo toca al cuarto de círculo. Por último, llamemos a al segmento EG.

La solución a este problema está basada en el siguiente lema, cuya demostración es omitida por trivial:

"Si dos círculos son tangentes, los centros de estos círculos y el punto de tangencia están alineados". 

Consideremos los triángulos rectángulos \triangle{BGO} y \triangle{EGO}. Como ambos tienen el lado GO en común, tenemos 

BO^2 - BG^2 = EO^2 - EG^2

Pero BO = s - r; BG = \frac{s}{2}+a; EO = \frac{s}{2}+r. Así tenemos

(s-r)^2 - (\frac{s}{2}+a)^2=(\frac{s}{2}+r)^2-a^2

Desarrollando binomios y simplificando

a=\frac{s}{2}-3r

Consideremos ahora el triángulo rectángulo \triangle{FHO}

HO=AG=3r

FH=\sqrt{(\frac{s}{2}-r)^2-(3r)^2}

FH=\sqrt{\frac{s^2}{4}-sr-8r^2}

Volvamos al triángulo rectángulo \triangle{BGO}. La ecuación 

BG^2 + GO^2 = BO^2

ahora puede escribirse en términos de r y s:

(\frac{s}{2}+\sqrt{\frac{s^2}{4}-sr-8r^2})^2+(s-3r)^2=(s-r)^2

Desarrollando binomios y simplificando

\sqrt{\frac{s^2}{4}-sr-8r^2}=5r-\frac{s}{2}

\frac{s^2}{4}-sr-8r^2=25r^2-5sr+\frac{s^2}{4}

4sr = 33r^2

4s=33r

r=\frac{4s}{33}

Q.E.D.


Éste y otros problemas pueden encontrarse en el siguiente enlace:

Sangaku Journal of Mathematics


Tema relacionado:

Novel Sangaku Problem





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