En este problema tipo Sangaku, se requiere demostrar que el radio del círculo pequeño, tangente a los dos semicírculos y al cuarto de círculo, es $\frac{4s}{33}$, donde $s$ es la longitud del lado del cuadrado $ABCD$.
Demostración.
Denotemos con $O$ el centro del círculo pequeño de radio $r$. Llamemos $E$ y $F$ a los puntos medios de los lados $AB$ y $AD$, respectivamente. Hagamos $G$ y $H$ los puntos donde las perpendiculares desde $O$ intersectan los lados $AB$ y $AD$, respectivamente. $Y$, $Z$ son los puntos donde el círculo pequeño toca los semicírculos con diámetros $AD$ y $AB$, respectivamente. $X$ es el punto donde el círculo toca al cuarto de círculo. Por último, llamemos $a$ al segmento $EG$.
La solución a este problema está basada en el siguiente lema, cuya demostración es omitida por trivial:
"Si dos círculos son tangentes, los centros de estos círculos y el punto de tangencia están alineados".
Consideremos los triángulos rectángulos $\triangle{BGO}$ y $\triangle{EGO}$. Como ambos tienen el lado $GO$ en común, tenemos
$$BO^2 - BG^2 = EO^2 - EG^2$$
Pero $BO = s - r$; $BG = \frac{s}{2}+a$; $EO = \frac{s}{2}+r$. Así tenemos
$$(s-r)^2 - (\frac{s}{2}+a)^2=(\frac{s}{2}+r)^2-a^2$$
Desarrollando binomios y simplificando
$$a=\frac{s}{2}-3r$$
Consideremos ahora el triángulo rectángulo $\triangle{FHO}$.
$$HO=AG=3r$$
$$FH=\sqrt{(\frac{s}{2}-r)^2-(3r)^2}$$
$$FH=\sqrt{\frac{s^2}{4}-sr-8r^2}$$
Volvamos al triángulo rectángulo $\triangle{BGO}$. La ecuación
$$BG^2 + GO^2 = BO^2$$
ahora puede escribirse en términos de $r$ y $s$:
$$(\frac{s}{2}+\sqrt{\frac{s^2}{4}-sr-8r^2})^2+(s-3r)^2=(s-r)^2$$
Desarrollando binomios y simplificando
$$\sqrt{\frac{s^2}{4}-sr-8r^2}=5r-\frac{s}{2}$$
$$\frac{s^2}{4}-sr-8r^2=25r^2-5sr+\frac{s^2}{4}$$
$$4sr = 33r^2$$
$$4s=33r$$
$$r=\frac{4s}{33}$$
$$Q.E.D.$$
Genial!
ResponderEliminarGracias!
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