Propiedades del logo de la ACRD

He aquí algunos problemas inspirados en el logo de la Academia de Ciencias de la República Dominicana. La figura consiste en un triángulo equilátero y un cuadrado inscritos en una circunferencia como muestra la figura. Tanto el cuadrado como el triángulo equilátero son simétricos con respecto a un eje de simetría y.

Logo original de la $ACRD$:

Problema 1. Si $H$, $I$ y $J$ son puntos medios, demostrar que $\frac{HI}{IJ} = \sqrt{2}$.

Problema 2. Desde $C$, tracemos una línea perpendicular a $FG$ de tal modo que corte al lado $FG$ en $I$ y al lado $EG$ en $J$. Denotemos con $H$ la proyección ortogonal de $G$ en el lado $DC$. Si $CI=a$, $GH=b$ e $IJ=c$, demostrar que $c-a=2b$. 

Problema 3. Llamemos $O$ a la intersección de la mediatriz de la cuerda $CG$ y la perpendicular desde $D$ a $EG$. Si $DO$ corta a $EG$ en $N$, demostrar que $DN=NO$.

Problema 4. $H$ e $I$ son los puntos donde la perpendicular desde $C$ a $FG$ corta los lados $FG$ y $EG$, respectivamente. Si $J$ es la proyección ortogonal de $D$ en $EG$, demuestra que $IJ = GJ$.

Problema 5. Si $M$ es el punto medio de la cuerda $CG$, encuentra la medida del ángulo $\angle{DOM}$.