Triángulos Semejantes y Cevianas

Algunos casos particulares de este resultado se han considerado previamente en este blog. Ver aquí y aquí.

$P$ y $Q$ son dos puntos en el interior de un triángulo $ABC$. $\triangle{A_pB_pC_p}$ y $\triangle{A_qB_qC_q}$ son los triángulos cevianos de $P$ y $Q$, respectivamente. Sobre los segmentos $BA_p$ y $CA_q$, se construyen los triángulos similares (y en la misma dirección) $\triangle{A_bApB}$ y $\triangle{A_cA_qC}$. Similarmente, construya $\triangle{B_cB_qC}$, $\triangle{AB_aB_p}$, $\triangle{AC_aC_q}$, $\triangle{BC_bC_p}$ (los triángulos erectos en un lado no son necesariamente similares a los de otro lado). La línea $A_bA_c$ intersecta las líneas $B_aB_c$, $C_aC_b$ en $Z$, $Y$, respectivamente. Las líneas $B_aB_c$, $C_aC_b$ se intersectan en $X$. 

Demuestre que $AX$, $BY$ y $CZ$ concurren. 

Demostración.

Apelaremos a la versión trigonométrica del Teorema de Ceva para demostrar la concurrencia.

Por la ley de senos,

$$\frac{B_cC}{sen\angle{CB_qB_c}}=\frac{B_qC}{sen\angle{CB_cB_q}}$$

$$B_cC=\frac{B_qC\cdot{sen\angle{CB_qB_c}}}{sen\angle{CB_cB_q}}$$

$$\frac{B_qC\cdot{sen\angle{CB_qB_c}}}{sen\angle{CB_cB_q}\cdot{sen\angle{B_cZC}}}=\frac{CZ}{sen\angle{CB_cZ}}$$

$$sen\angle{B_cZC}=\frac{B_qC\cdot{sen\angle{CB_qB_c}}\cdot{sen\angle{CB_cZ}}}{CZ\cdot{sen\angle{CB_cB_q}}}$$

Análogamente, 

$$sen\angle{B_aXA}=\frac{AB_p\cdot{sen\angle{AB_pB_a}}\cdot{sen\angle{AB_aX}}}{AX\cdot{sen\angle{AB_aB_p}}}$$

De donde obtenemos:

$$\frac{sen\angle{B_cZC}}{sen\angle{B_aXA}}=\frac{AX\cdot{B_qC}\cdot{sen\angle{CB_qB_c}}\cdot{sen\angle{CB_cZ}}}{CZ\cdot{AB_p}\cdot{sen\angle{AB_pB_a}}\cdot{sen\angle{AB_aX}}}$$

Ahora fijemos la atención en el cuadrilátero $XACZ$. Consideramos el caso en que los segmentos $AB_p$ y $CB_q$ no se solapan, sin embargo, un simple ajuste a la demostración será necesario para los casos en que se solapen o $B_p=B_q$.

Note que por ser $\triangle{AB_aB_p}$ similar a $\triangle{B_cB_qC}$, tenemos

$$\frac{sen\angle{CB_qB_c}}{sen\angle{AB_pB_a}}=\frac{sen\angle{CB_qB_c}}{sen\angle{B_qCB_c}}=\frac{B_cC}{B_cB_q}$$

Si $D$ es la intersección de las líneas $B_aB_p$ y $B_cB_q$, por el Teorema de Tales tenemos las siguientes proporciones:

$$\frac{CB_q}{B_cB_q}=\frac{CB_p}{B_cD}$$

$$\frac{AB_p}{B_aB_p}=\frac{AB_q}{B_aD}$$

$$\frac{B_cD}{B_aD}=\frac{CB_p\cdot{B_cB_q}\cdot{AB_p}}{CB_q\cdot{AB_q}\cdot{B_aB_p}}=\frac{sen\angle{B_cB_aB_p}}{sen\angle{B_aB_cB_q}}=\frac{sen\angle{CB_cZ}}{sen\angle{AB_aX}}$$

De este modo reescribimos 

$$\frac{sen\angle{B_cZC}}{sen\angle{B_aXA}}=\frac{AX\cdot{B_qC}\cdot{sen\angle{CB_qB_c}}\cdot{sen\angle{CB_cZ}}}{CZ\cdot{AB_p}\cdot{sen\angle{AB_pB_a}}\cdot{sen\angle{AB_aX}}}=$$

$$\frac{AX\cdot{B_qC}\cdot{B_cC}\cdot{CB_p}\cdot{B_cB_q}\cdot{AB_p}}{CZ\cdot{AB_p}\cdot{B_cB_q}\cdot{CB_q}\cdot{AB_q}\cdot{B_aB_p}}$$

$$\frac{sen\angle{B_cZC}}{sen\angle{B_aXA}}=\frac{AX\cdot{B_cC}\cdot{CB_p}}{CZ\cdot{AB_q}\cdot{B_aB_p}}=\frac{AX\cdot{B_qC}\cdot{CB_p}}{CZ\cdot{AB_p}\cdot{AB_q}}$$

Por analogía, 

$$\frac{sen\angle{A_cZC}}{sen\angle{A_bYB}}=\frac{CZ\cdot{BA_p}\cdot{BA_q}}{BY\cdot{CA_q}\cdot{CA_p}}$$

$$\frac{sen\angle{C_bYB}}{sen\angle{C_aXA}}=\frac{BY\cdot{BC_p}\cdot{BC_q}}{AX\cdot{AC_q}\cdot{AC_p}}$$

Por una simple inspección notamos, que por el Teorema de Ceva, la expresión siguiente se reduce a uno.

$$\frac{sen\angle{B_cZC}}{sen\angle{B_aXA}}\cdot\frac{sen\angle{A_cZC}}{sen\angle{A_bYB}}\cdot\frac{sen\angle{C_bYB}}{sen\angle{C_aXA}}=$$

$$\frac{AX\cdot{B_qC}\cdot{CB_p}}{CZ\cdot{AB_p}\cdot{AB_q}}\cdot\frac{CZ\cdot{BA_p}\cdot{BA_q}}{BY\cdot{CA_q}\cdot{CA_p}}\cdot\frac{BY\cdot{BC_p}\cdot{BC_q}}{AX\cdot{AC_q}\cdot{AC_p}}=1$$

$$Q.E.D.$$