Golden Section Associated to the Golden Gnomon, the Nine Point Center and an Excircle

Given:

*$ABC$ is the golden gnomon.
*$N$ is the center of the Nine-point center.
*$I_a$ is the center of the A-excircle.

Prove that the semicircle $NI_a$ touch $AC$ in $G$, such that

$$\frac{GM_b}{CG}=\phi$$

Relación entre teoremas con connotaciones oftalmológicas

¿Qué relación habrá entre el Teorema del Globo Ocular (ver Eyeball Theorem) y el Teorema de los Ojos Bizcos (ver The Squinting Eyes Theorem)?

Pues, que cuando las dos circunferencias de referencia son tangentes externamente, el diámetro de la circunferencia inscrita correspondiente al "Squinting Eyes Theorem", y la cuerda correspondiente al "Eyeball Theorem" son congruentes. 

En la figura de abajo tenemos dos circunferencias tangentes con centros en $A$ y $B$. $C$ es la otra intersección de la línea $AB$ con la circunferencia de centro $A$. Desde $C$ dibujamos dos líneas tangentes a la circunferencia en $B$. Hagamos $T_c$ al punto de tangencia de la línea por encima de $AB$. Hagamos $D$ el centro de la circunferencia inscrita en la región limitada por la circunferencia en $A$ y las dos líneas tangentes provenientes de $C$. $E$ es el punto donde la línea $CT_c$ toca a la circunferencia en $D$. Desde $A$ dibujamos dos líneas tangentes más a la circunferencia en $B$. Hagamos $P$ y $Q$ los dos puntos donde estas líneas cortan la circunferencia en $A$ y $T_a$ el punto de tangencia por encima de $AB$. Por último, llamemos $r_1$, $r_2$ y $r_3$ a los radios de las circunferencias con centros en $A$, $B$ y $D$, respectivamente.

Note que los triángulos $\triangle{BCT_c}$ y $\triangle{ABT_a}$ son triángulos rectángulos. Por semejanza de triángulos se sigue

$$\frac{BT_c}{BC}=\frac{DE}{CD}$$

O lo que es lo mismo

$$\frac{r_2}{2r_1+r_2}=\frac{r_3}{2r_1-r_3}$$

Despejando $r_3$,

$$r_3=\frac{r_1r_2}{r_1+r_2}$$

Como $\triangle{APQ}$ es isosceles, $AB$ bisecta la cuerda $PQ$ en $M$. Consideremos ahora al $\triangle{AMQ}$. Otra vez, por semejanza de triángulos:

$$\frac{MQ}{AQ}=\frac{BT_a}{AB}$$

O lo que es lo mismo,

$$\frac{MQ}{r_1}=\frac{r_2}{r_1+r_2}$$

Despejando $MQ$,

$$MQ=\frac{r_1r_2}{r_1+r_2}$$

Por lo tanto, el diámetro de la circunferencia con centro en $D$ es congruente con la cuerda $PQ$.

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