Una Aplicación del Teorema de Stewart

Éste es el problema 311 en GoGeometry.com.

En la figura de abajo, el círculo $C$ está inscrito en el semicírculo con diámetro $AB$. Si $D$ y $E$ son puntos de tangencia, demuestra que 

$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{2}{x^2}$$

Demostración.

Hagamos $G$ la extensión de $AB$ tal que $EG$ es tangente al semicírculo en $E$.

Por potencia de un punto

$$(a + b + BG)BG = EG^2$$

Note que

$$DG = EG$$

$$BG=EG-b$$

$$(a + b + EG - b)(EG - b) = EG^2$$

Despejando $EG$ 

$$EG = \frac{ab}{a-b}$$

También tenemos que 

$$OD = \frac{a+b}{2}-b$$

$$DE=x$$

Ahora, aplicando el teorema de Stewart a $\triangle{OEG}$

$$x^2(OB+BG)=(OE^2)(DG)+(EG^2)(OD)-(OD)(DB)(OB)$$

Reescribiendo en términos de $a$, $b$ y $x$

$$x^2(\frac{a^2+b^2}{2a-2b})=(\frac{a+b}{2})^2(\frac{ab}{a-b})+(\frac{ab}{a-b})^2(\frac{a+b}{2}-b)-(\frac{a^2+b^2}{2a-2b})(\frac{ab}{a-b})(\frac{a+b}{2}-b)$$

Simplificando 

$$\frac{x^2(a^2+b^2)}{2a-2b}=\frac{a^2b^2}{a-b}$$

$$x^2a^2 + x^2b^2=2a^2b^2$$

Dividiendo por $a^2b^2x^2$

$$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}=\frac{2}{x^2}$$

$$Q.E.D.$$