Parabola Associated with the Golden Section

Proposition $1$. Let $ABC$ be a short golden triangle $(108°-36°-36°)$. Call $H$ the orthocenter of $\triangle{ABC}$ and let $h_ah_bh_c$ be the orthic triangle of $\triangle{ABC}$. Let $T_a$ be the point where the incircle of $\triangle{ABC}$  touch $BC$ and $M_a$ the midpoint of side $BC$. The parabola with focus at $h_c$ and directrix $h_ah_b$ is tangential to side $BC$ at $D$ (for a proof, see $[1]$), where $$\frac{M_aD}{DT_a}= \phi$$

Theorem $2$. The orthocenter of $\triangle{ACH}$ is the incenter of the orthic triangle $h_ah_bh_c$. This is a well-known fact, for a proof see $[2]$.

Lemma $3$. $DFh_ah_c$ is cyclic.

Proof. From the definition of parabola $Dh_c = DF$ and $DF\perp  h_ah_b$. As $\triangle{h_ah_bh_c}$ is the orthic triangle of $\triangle{ACH}$, from theorem $2$ it follows $\angle{h_ch_aD} = \angle{Dh_aF}$. $Sin \angle{h_ch_aD} = sin\angle{Dh_aF} = \frac{DF}{Dh_a}$. From the Law of Sines, $\frac{Dh_a}{sin\angle{Dh_ch_a}}= \frac{Dh_c}{sin\angle{Dh_aF}}$; $\frac{Dh_a}{sin\angle{Dh_ch_a}}= \frac{Dh_c}{\frac{DF}{Dh_a}}$; $sin\angle{Dh_ch_a}= \frac{DF}{Dh_c}$. But $Dh_c = DF$, hence, $sin\angle{Dh_ch_a} = 1$ and $\angle{Dh_ch_a}$ is right. Since $DFh_ah_c$ is a kite with two right-triangles, $D$, $F$, $h_a$, $h_c$ are cyclic.                                              

Lemma $4$. $\triangle{ABC}$ ∼ $\triangle{DFh_c}$.

Proof. Clearly, $CHh_ah_b$ is cyclic. Consider the right triangle $ACh_c$. $\angle{CHh_b} = 90^\circ - 54^\circ = 36^\circ$. From property of inscribed angle, $\angle{CHh_b}=\angle{Ch_ah_b}=\angle{Ch_aF}$. From lemma $3$ we know that $DFh_ah_c$ is cyclic, so $\angle{Dh_cF}=\angle{Dh_aF}=36^\circ$. As $\triangle{DFh_c}$ is isosceles with $Dh_c = DF$, it follows that $\triangle{ABC}$ ∼ $\triangle{DFh_c}$, as desired.

Lemma $5$. $T_a$, $h_b$, $h_c$ are collinear.

Proof. $IT_a = Ih_b = r$. $\angle{T_ah_bH}=\frac{180^\circ-\angle{T_aIh_b}}{2}=\frac{180^\circ-144^\circ}{2}=18^\circ$. Note that $\angle{HCh_a} = \angle{Hh_bh_a} = \angle{Hh_bh_c} = 18^\circ$. It follows that $\angle{T_ah_bH} = \angle{Hh_bh_c}$, which means $h_b$, $T_a$, $h_c$ are collinear.

Back to the main result.

By simple angle chasing $\triangle{Bh_cT_a}$, $\triangle{Bh_cM_a}$ are both tall golden triangles and $\triangle{h_cM_aT_a}$ is a short golden triangle. $Dh_c$ is the angle bisector of $\angle{M_ah_cT_a}$ and we know $\frac{h_cM_a}{h_cT_a}=\phi$  (this is a well-known property of the short golden triangle) and by the Angle Bisector theorem $\frac{M_aD}{DT_a}=\phi$ , as desired.

References.

[1] http://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/ParabolaInTriangle.shtml

[2] http://www.math.wisc.edu/~robbin/461dir/ortho-in.pdf

El Árbelos y esos Círculos Gemelos de Arquímedes

Antes de ir al móvil principal de este artículo, definamos qué es un árbelos. Árbelos es la figura formada por tres semicírculos mutuamente tangentes entre sí, con sus centros alineados. La palabra árbelos viene del griego άρβυλος, significando: cuchillo de zapatero.

Una de las propiedades del árbelos descubierta y probada por el mismo Arquímedes en su libro de lemas, es que los dos pequeños círculos inscritos en las regiones del árbelos cortadas por una línea perpendicular en la base a través del punto de contacto de los dos pequeños semicírculos, son iguales. Los círculos se han conocido desde entonces como los Círculos Gemelos de Arquímedes.

Más de 2200 años después de Arquímedes, Leon Bankoff (1974) encontró otro círculo congruente con los gemelos. En 1999, un gran número de círculos con igual radio fue reportado por C. W. Dodge. Más recientemente, F. Power describió otros cuatro círculos que fueron adoptados en la familia.

Muchas sorprendentes y contraintuitivas propiedades se han encontrado con relación a esta configuración. Hay quien sugiere que el hecho de que esta figura tan simple sea tan rica en propiedades, quizá, se deba a que el arbelos no es más que un triángulo cuyos lados son semicírculos.

En 1979, Martin Gardner escribió acerca del círculo trillizo de Bankoff, inspirando al entonces estudiante Thomas Schoch, de Essen, Alemania, a descubrir más círculos. Él envió su trabajo en alemán a Gardner, quién lo reenvió a Bankoff. Bankoff no estaba familiarizado con el idioma alemán, así que envió una copia a Dodge en 1996. Dodge reconoció la alta calidad del artículo de Schoch y salió de viaje tratando de localizarlo. Él, aún viviendo en Essen, no le había dado seguimiento a su trabajo hasta que encontró el sitio web de árbelos del Dr. Peter Woo, en 1998. Schoch contactó a Woo y le contó sobre sus hallazgos. Paul Yiu dirigió la atención de Dodge hacia Woo, quien había completado un artículo sobre sus infinitos círculos arquimedianos. Es entonces cuando deciden unir fuerzas para escribir un artículo: "Those Ubiquitous Archimedean Circles" (Aquellos ubicuos círculos arquimedianos). No puedo dejar de mencionar que Victor Thébault (el gran 'problemista' francés) estudió exhaustivamente el árbelos.

El interés en el árbelos sigue vigente en la comunidad Matemática. Como muestra, en 2004, Hiroshi Okumura y Masayuki Watanabe, del Instituto de Tecnología Maebashi (Japón), publicaron una generalización de los círculos arquimedianos de Woo y de Schoch. A partir del 2006, Floor van Lamoen descubrió más círculos y varias familias infinitas. En 2013, Hiroshi Okumura presentó una generalización avanzada del árbelos y sus círculos arquimedianos, y mostró los círculos generalizados cubriendo un plano.

El 15 de Junio del 2014, el autor de este artículo engrosó un poco más la familia (hay infinitas familias de círculos arquimedianos. Lo que en realidad hice fue aumentar el número de configuraciones donde podemos encontrar círculos de Arquímedes). Mientras hurgaba en la página de Alexander Bogomolny en busca de problemas sin demostración, encontré un problema no resuelto sobre tangencias y círculos cuya clave para su demostración consistía en un simple detalle de congruencia de triángulos. El problema guardaba similitud con un problema que yo había publicado y demostrado en 2013, resultando ser una variante aparentemente desconocida del famoso teorema Eyeball. En vista de este vínculo con el teorema Eyeball, Bogomolny tomó la libertad de apodarlo "The Praying Eyes Theorem". En ese momento no imaginaba que pudiera tener un vínculo con los gemelos de Arquímedes, pero una semana antes de escribir este artículo, había pasado algunas horas estudiando el Catálogo de Círculos Arquimedianos disponible en línea, y me preguntaba si podía haber alguna conexión. ¡Aja! Fue como un regalo de cumpleaños (justo el día anterior era mi cumpleaños). Vayamos a la descripción:

Los semicírculos (D) y (E) se dibujan sobre los diámetros AC y BC, respectivamente, siendo C un punto sobre el segmento AB. EF es tangente a (D) y DG es tangente a (E). La línea FG intersecta (D) por segunda vez en I y (E) enH. Los dos círculos en FI y GH como diámetros son gemelos arquimedianos (tienen el radio igual al par de círculos descubierto por Arquímedes).

Tanto la demostración como otros círculos adicionales correspondientes a esta configuración se detallan elegantemente en la sección de árbelos del website de Alexander Bogomolny.

¡Si tan sólo Arquímedes supiera!

Otros resultados relacionados (en inglés):

Archimedean Siblings out of Wedlock, i.e., Arbelos

Concurrence Of Circles In Arbelos

Sanchez-García triplet circle

Another Archimedean circle in an arbelos

Le Viet An Archimedean Circles

The Outer/Inner Garcia Triangle

In euclidean geometry, the Fuhrmann triangle and the Hexyl triangle (and others) are two special triangles with a plethora of surprising properties. On April, 2014, I introduced two triangles, namely, the Outer Garcia triangle and the Inner Garcia triangle which, as it regards to intersting properties, seem to compete very well with the two triangles cited above. 

Definitions:

Outer-Garcia Triangle: it is the triangle obtained by reflecting the incenter around the midpoints of the reference triangle. This is triangle $A'B'C'$ in the animation.

Inner-Garcia Triangle: it is the triangle obtained by reflecting the vertices of the Outer-Garcia triangle around the sides of the reference triangle. Also, It can be obtained by just reflecting the incenter around the perpendicular bisectors of the reference triangle. This is triangle $A''B''C''$ in the animation.

The constructions and many of the properties associated to these triangles can be found in the Encyclopedia of Triangle Centers, part 4, with notation $X(5587)$.

There are also cubics associated to them which you can find in the website of Bernard Gibert. See, for example, the Spieker-Schiffler Cubic.

Related topic:
A Note on Reflections
Reflections on Poncelet’s Pencil

Concyclicity Associated to a Radical Axis

Consider two circles with centers $A$ and $B$. Call $A'$, $A''$ the two intersections of the line $AB$ and the circle centered at $A$. Similarly, construct $B'$, $B''$. Call $X$ and $Y$ the intersections of circles $(A)$, $(B)$ with another circle passing through $A''$, $B''$. Let another circle passing through $A''$, $B''$ be intersected by both circles $(A)$, $(B)$ at $Z$, $W$, respectively.

Prove that $XYWZ$ is cyclic.

Congruent Segments Associated to Tangent Lines.

Let $A$ and $B$ be the centers two circles $(A)$, $(B)$. From $A$, draw a tangent to $(B)$ at $C$. From $B$, draw two tangents to $(A)$ in $D$, $E$. From $C$, draw $CD$ such that intersect $(A)$ again in $F$. Similarly, from $C$, draw $CE$ such that intersect $(A)$ in $I$.

Prove $CF = CE$.

Proof.

Since $BD$ and $AC$ are tangent lines it follows that $\angle{BDA}=\angle{ACB}=\angle{AEB}=90^\circ$, hence $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ are concyclic. Now, see that $\angle{DCE}=\angle{DBE}$ and $\angle{ACE}=\angle{ABE}$. $\angle{ABE}=\frac{\angle{DBE}}{2}=\frac{\angle{DCE}}{2}$, then, segment $AC$ is an angle bisector of $\angle{DCE}$. Focus on $\triangle{ACF}$. $\angle{CDB}=\angle{CEB}$. $\angle{FDA}=\angle{DFA}=180^\circ-(90^\circ+\angle{CDB})=90^\circ-\angle{CDB}$.$\angle{FAC}= 180^\circ-\angle{DCA}-(90^\circ-\angle{CDB})=90^\circ+\angle{CDB}-\angle{DCA}$. Focus on $\triangle{ACE}$. $\angle{EAC}=180^\circ-\angle{DCA}-(90^\circ-\angle{CDB})$. $\angle{EAC}=90^\circ+\angle{CDB}-\angle{DCA}$. Hence $\angle{FAC}=\angle{EAC}$, and $\triangle{ACF}$, $\triangle{ACE}$ are congruent. Thus, $CF=CE$.

On a constant associated to equilateral triangle and its generalization

I guess you are familiar with the result described as follows:

If $ABC$ is an equilateral triangle, and $P$ is any point on the incircle of $\triangle{ABC}$, then $AP^2 + B^2 + CP^2$ is constant. Click here to read more.

I was wondering whether this can be true for any regular polygon and found it to be true too. In the website it is mentioned that the result holds for any circle with center at the centroid of the triangle, but it does not mention whether the result holds for any other polygon. Although it seems a natural question, I have not seen any reference so far.

Click here for the generalization.

Relationship Between Inradius and Exradii

Prove $\frac{r}{r_a}+\frac{r}{r_b}+\frac{r}{r_c} = 1$

I am grateful to Angel Rafael Mejia for the reference:

Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, 1929.

The Three Square Geometry Problem

This is my solution of the famous Three Square Geometry Problem. 

Click on the image to have a better view.

A Perspector Associated to Cevians

This is an old open problem by  Oai Thanh Đào. Here I give a proof.

Consider a triangle ABC. Let D be a point inside triangle ABC. Let EFG be the cevian triangle of point D. On segments BF, CF, CG, AG, AE, BE erect similar isosceles triangles BFH, CFI, CGJ, AGK, AEL and BEM, respectively. Let N be the intersection of HI, LM. Similarly, let O be the intersection of HI, KJ and P the intersection of KJ, ML.  Then, AP, BN, CO concur. 

Proof (click on the image to have a better view).

Related topics:

A family of perspectors associated to cevians

Pythagoras in 60 Seconds

Short film by Alan Kitching, made in 1986. Apart from explaining the famous theorem, it is also conceived as a "visual proof"... ie, whereas a still diagram can show a single instance of something, animation can show all possible instances... and that can make the difference between a simple illustration and an actual proof.

Another Archimedean circle in an arbelos

Click here to read the article. 

Golden sections of triangle centers in the golden triangles

Click here to read the article.

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Golden Ratio in Geometry